Номер 657, страница 144 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Многоугольники. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 657, страница 144.

Условие 2023.

657. Докажите, что если все углы многоугольника, описанного около окружности, равны, то и все его стороны также равны.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим выпуклый $n$-угольник $A_1A_2...A_n$, описанный около окружности с центром $O$ и радиусом $r$. По условию задачи, все внутренние углы этого многоугольника равны. Обозначим величину каждого угла через $\alpha$. Таким образом, $\angle A_1 = \angle A_2 = \dots = \angle A_n = \alpha$.

Пусть вписанная окружность касается сторон $A_1A_2, A_2A_3, \dots, A_nA_1$ в точках $T_1, T_2, \dots, T_n$ соответственно. Точка $T_1$ лежит на стороне $A_1A_2$, точка $T_2$ — на стороне $A_2A_3$, и так далее, точка $T_n$ — на стороне $A_nA_1$.

Рассмотрим произвольную вершину многоугольника, например $A_k$. К этой вершине примыкают стороны $A_{k-1}A_k$ и $A_kA_{k+1}$. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, длины отрезков от вершины до точек касания равны. Для вершины $A_k$ это означает, что $A_kT_{k-1} = A_kT_k$.

Соединим центр окружности $O$ с вершиной $A_k$ и точкой касания $T_k$. Отрезок $OA_k$ является биссектрисой угла $\angle A_k$. Радиус $OT_k$, проведенный в точку касания, перпендикулярен стороне $A_kA_{k+1}$. Следовательно, треугольник $\triangle OA_kT_k$ является прямоугольным, где $\angle OT_kA_k = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OA_kT_k$ катет $OT_k$ равен радиусу вписанной окружности $r$. Угол $\angle OA_kT_k$ равен половине угла многоугольника $\angle A_k$, то есть $\frac{\alpha}{2}$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$ \tan(\angle OA_kT_k) = \frac{OT_k}{A_kT_k} $

Подставим известные нам значения:

$ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{A_kT_k} $

Отсюда можем выразить длину отрезка касательной от вершины $A_k$ до точки касания:

$ A_kT_k = \frac{r}{\tan(\frac{\alpha}{2})} $

Поскольку радиус $r$ вписанной окружности — величина постоянная, и все углы многоугольника равны $\alpha$, то и длина отрезка касательной от вершины до точки касания будет одинаковой для всех вершин многоугольника. То есть, $A_1T_n = A_1T_1 = A_2T_1 = A_2T_2 = \dots = \frac{r}{\tan(\frac{\alpha}{2})}$.

Теперь рассмотрим длину произвольной стороны многоугольника, например $A_kA_{k+1}$. Она состоит из двух отрезков касательных: $A_kT_k$ (от вершины $A_k$) и $T_kA_{k+1}$ (от вершины $A_{k+1}$).

$ A_kA_{k+1} = A_kT_k + T_kA_{k+1} $

Как мы показали, $A_kT_k = \frac{r}{\tan(\frac{\alpha}{2})}$. Аналогично, для вершины $A_{k+1}$ отрезок касательной $A_{k+1}T_k$ также равен $\frac{r}{\tan(\frac{\alpha}{2})}$.

Следовательно, длина стороны $A_kA_{k+1}$ равна:

$ A_kA_{k+1} = \frac{r}{\tan(\frac{\alpha}{2})} + \frac{r}{\tan(\frac{\alpha}{2})} = 2 \cdot \frac{r}{\tan(\frac{\alpha}{2})} $

Поскольку это рассуждение справедливо для любой стороны многоугольника, мы приходим к выводу, что все его стороны имеют одинаковую длину. Таким образом, многоугольник является правильным.

Ответ: Утверждение доказано. Если все углы многоугольника, описанного около окружности, равны, то все его стороны также равны.

Условие 2015-2022.

657. Докажите, что если все углы многоугольника, описанного около окружности, равны, то и все его стороны также равны.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).