Номер 662, страница 145 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Многоугольники. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 662, страница 145.

Условие 2023.

662. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой тупого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 7 см и 11 см. Найдите периметр трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания ($AD > BC$), а AB и CD — боковые стороны ($AB = CD$). Пусть MN — средняя линия трапеции, где M — середина AB, N — середина CD. Диагональ AC является биссектрисой тупого угла $\angle BCD$ и пересекает среднюю линию MN в точке K.

1. Определение длин оснований трапеции

Средняя линия MN состоит из двух отрезков, MK и KN, с длинами 7 см и 11 см. Таким образом, длина всей средней линии равна:
$MN = 7 + 11 = 18$ см.
Длина средней линии трапеции равна полусумме ее оснований:
$MN = \frac{AD + BC}{2}$
Отсюда сумма оснований: $AD + BC = 2 \cdot MN = 2 \cdot 18 = 36$ см.

Рассмотрим треугольник ABC. Отрезок MK соединяет середину стороны AB (точка M) и точку K на стороне AC, при этом $MK \parallel BC$ (так как $MN \parallel BC$). Следовательно, MK является средней линией треугольника ABC.
$MK = \frac{BC}{2}$

Аналогично, в треугольнике ADC отрезок KN соединяет середину стороны CD (точка N) и точку K на стороне AC, при этом $KN \parallel AD$. Следовательно, KN является средней линией треугольника ADC.
$KN = \frac{AD}{2}$

Так как AD — большее основание, а BC — меньшее, то $KN > MK$. Значит, $KN = 11$ см, а $MK = 7$ см.
Теперь найдем длины оснований:
$BC = 2 \cdot MK = 2 \cdot 7 = 14$ см.
$AD = 2 \cdot KN = 2 \cdot 11 = 22$ см.

2. Определение длин боковых сторон

По условию, диагональ AC является биссектрисой тупого угла $\angle BCD$. Это означает, что она делит этот угол пополам:
$\angle BCA = \angle ACD$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых BC и AD и секущей AC. Следовательно, они равны:
$\angle BCA = \angle CAD$.

Из этих двух равенств следует, что $\angle ACD = \angle CAD$.
Это означает, что треугольник ADC является равнобедренным, так как углы при его основании AC равны. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Значит, $CD = AD$.
Поскольку мы нашли, что $AD = 22$ см, то боковая сторона $CD = 22$ см.

Так как трапеция ABCD равнобокая, ее боковые стороны равны: $AB = CD = 22$ см.

3. Расчет периметра

Периметр трапеции — это сумма длин всех ее сторон:
$P = AB + BC + CD + AD$.
Подставим найденные значения:
$P = 22 + 14 + 22 + 22 = 80$ см.

Ответ: 80 см.

Условие 2015-2022.

662. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой тупого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 7 см и 11 см. Найдите периметр трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).