Номер 656, страница 144 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Многоугольники. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 656, страница 144.

Условие 2023.

656. Докажите, что если все стороны многоугольника, вписанного в окружность, равны, то и все его углы также равны.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан многоугольник $A_1A_2...A_n$, который вписан в окружность с центром в точке $O$. По условию задачи, все стороны этого многоугольника равны между собой: $A_1A_2 = A_2A_3 = ... = A_{n-1}A_n = A_nA_1$. Требуется доказать, что все его углы также равны.

Соединим центр окружности $O$ отрезками со всеми вершинами многоугольника $A_1, A_2, ..., A_n$. В результате многоугольник разобьется на $n$ треугольников: $\triangle OA_1A_2, \triangle OA_2A_3, ..., \triangle OA_nA_1$.

Рассмотрим эти треугольники. Стороны $OA_1, OA_2, ..., OA_n$ являются радиусами одной и той же окружности, поэтому все они равны: $OA_1 = OA_2 = ... = OA_n = R$, где $R$ — радиус окружности.

Возьмём два любых соседних треугольника, например $\triangle OA_1A_2$ и $\triangle OA_2A_3$. Сравним их:

1. $OA_1 = OA_2 = R$ (как радиусы).

2. $OA_2 = OA_3 = R$ (как радиусы).

3. $A_1A_2 = A_2A_3$ (по условию задачи).

Из этого следует, что треугольники $\triangle OA_1A_2$ и $\triangle OA_2A_3$ равны по трём сторонам (третий признак равенства треугольников). Так как это рассуждение можно применить к любой паре соседних треугольников ($\triangle OA_2A_3$ и $\triangle OA_3A_4$, и так далее), мы можем заключить, что все $n$ треугольников, на которые мы разбили многоугольник, равны между собой:

$\triangle OA_1A_2 \cong \triangle OA_2A_3 \cong ... \cong \triangle OA_nA_1$.

Поскольку все эти треугольники равны, то равны и их соответствующие углы. Каждый из этих треугольников является равнобедренным (например, в $\triangle OA_1A_2$ стороны $OA_1=OA_2=R$), значит, углы при его основании равны. Из равенства всех треугольников следует, что все углы при основаниях всех этих треугольников равны между собой. Обозначим величину такого угла через $\beta$:

$\angle OA_1A_2 = \angle OA_2A_1 = \angle OA_2A_3 = \angle OA_3A_2 = ... = \beta$.

Теперь рассмотрим углы самого многоугольника. Каждый угол многоугольника составлен из двух углов при основаниях смежных треугольников. Например:

Угол при вершине $A_2$: $\angle A_1A_2A_3 = \angle OA_2A_1 + \angle OA_2A_3 = \beta + \beta = 2\beta$.

Угол при вершине $A_3$: $\angle A_2A_3A_4 = \angle OA_3A_2 + \angle OA_3A_4 = \beta + \beta = 2\beta$.

И так далее для любой вершины $A_k$: $\angle A_{k-1}A_k A_{k+1} = \angle OA_k A_{k-1} + \angle OA_k A_{k+1} = \beta + \beta = 2\beta$.

Таким образом, все углы многоугольника равны между собой и составляют $2\beta$. Утверждение доказано.

Ответ: Если все стороны многоугольника, вписанного в окружность, равны, то равны и все его углы, что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

656. Докажите, что если все стороны многоугольника, вписанного в окружность, равны, то и все его углы также равны.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).