Номер 650, страница 144 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Многоугольники. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 650, страница 144.

Условие 2023.

650. Существует ли многоугольник, каждый угол которого равен:

1) $150^\circ$;

2) $100^\circ$?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

1)

Если у выпуклого многоугольника все углы равны, то он является правильным. Величина внутреннего угла $ \alpha $ правильного $n$-угольника вычисляется по формуле: $$ \alpha = \frac{180^\circ(n-2)}{n} $$ где $ n $ — количество сторон многоугольника. Для того чтобы такой многоугольник существовал, $ n $ должно быть целым числом, и $ n \ge 3 $.

Подставим в формулу значение угла $ \alpha = 150^\circ $ и найдем $ n $: $$ 150 = \frac{180(n-2)}{n} $$ Умножим обе части уравнения на $ n $: $$ 150n = 180(n-2) $$ Раскроем скобки: $$ 150n = 180n - 360 $$ Перенесем члены с $ n $ в одну сторону, а числа в другую: $$ 180n - 150n = 360 $$ $$ 30n = 360 $$ Найдем $ n $: $$ n = \frac{360}{30} $$ $$ n = 12 $$

Мы получили целое число $ n = 12 $, которое удовлетворяет условию $ n \ge 3 $. Следовательно, такой многоугольник существует. Это правильный двенадцатиугольник.

Ответ: да, существует.

2)

Аналогично проверим, существует ли многоугольник, каждый угол которого равен $ 100^\circ $. Подставим $ \alpha = 100^\circ $ в ту же формулу: $$ 100 = \frac{180(n-2)}{n} $$ Умножим обе части на $ n $: $$ 100n = 180(n-2) $$ Раскроем скобки: $$ 100n = 180n - 360 $$ Сгруппируем члены: $$ 180n - 100n = 360 $$ $$ 80n = 360 $$ Найдем $ n $: $$ n = \frac{360}{80} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} = 4.5 $$

Поскольку количество сторон $ n $ должно быть целым числом, а в результате получилось дробное число $ n = 4.5 $, то многоугольника, у которого все углы равны $100^\circ$, не существует.

Ответ: нет, не существует.

Условие 2015-2022.

650. Существует ли многоугольник, каждый угол которого равен:

1) $150^{\circ}$;

2) $100^{\circ}$?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).