Номер 643, страница 143 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Многоугольники. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 643, страница 143.

Условие 2023.

643. Начертите пятиугольник, каждый угол которого равен $108^\circ$, а каждая сторона – 3 см. Опишите около этого пятиугольника окружность и впишите в него окружность.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пятиугольник, у которого все стороны (3 см) и все углы (108°) равны, является правильным пятиугольником. Теоретически, внутренний угол правильного n-угольника вычисляется по формуле $ \alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} $. Для пятиугольника ($n=5$) этот угол составляет $ \alpha = \frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ $. Это подтверждает, что в задаче речь идет о правильном пятиугольнике. Построение можно выполнить с помощью циркуля, линейки и транспортира.

Начертите пятиугольник, каждый угол которого равен 108°, а каждая сторона — 3 см

Для построения пятиугольника необходимо выполнить следующие шаги:

1. С помощью линейки начертите отрезок AB длиной 3 см.
2. В точке B с помощью транспортира отложите угол, равный 108°, и проведите из точки B луч.
3. На этом луче отложите отрезок BC длиной 3 см.
4. В точке C аналогично отложите угол 108° (в ту же сторону относительно построенной части многоугольника) и постройте отрезок CD длиной 3 см.
5. Повторите операцию для точки D, построив отрезок DE длиной 3 см под углом 108° к стороне CD.
6. Соедините точки E и A отрезком. Если построение было точным, длина отрезка EA будет равна 3 см, а углы при вершинах E и A будут равны 108°.

Ответ: Искомый пятиугольник ABCDE построен согласно шагам, описанным выше.

Опишите около этого пятиугольника окружность

Описанная окружность проходит через все вершины многоугольника. Её центр — это точка, равноудаленная от всех вершин. Для правильного многоугольника центр можно найти как точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

1. Выберите две любые стороны пятиугольника, например, AB и BC.
2. Постройте серединный перпендикуляр к стороне AB. Для этого из точек A и B проведите две пары дуг одинакового радиуса (большего, чем половина длины AB) с каждой стороны отрезка. Соедините точки пересечения этих дуг прямой.
3. Аналогично постройте серединный перпендикуляр к стороне BC.
4. Точка O, в которой пересекутся эти два перпендикуляра, является центром описанной окружности.
5. Установите иглу циркуля в точку O, а грифель — в любую из вершин (например, в точку A). Радиус окружности будет равен длине отрезка OA.
6. Проведите окружность. Она пройдет через все пять вершин пятиугольника (A, B, C, D, E).

Ответ: Описанная окружность построена. Её центр найден как точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам, а радиус равен расстоянию от центра до любой вершины.

Впишите в него окружность

Вписанная окружность касается всех сторон многоугольника. Её центр совпадает с центром описанной окружности, а радиус равен длине перпендикуляра, опущенного из центра на любую из сторон (апофеме).

1. Центр O уже найден при построении описанной окружности.
2. Чтобы найти радиус вписанной окружности, опустите перпендикуляр из точки O на любую сторону, например, на сторону AB. Обозначьте основание этого перпендикуляра как точку M. Точка M также является серединой стороны AB.
3. Длина отрезка OM является радиусом вписанной окружности.
4. Установите иглу циркуля в точку O и радиусом, равным длине отрезка OM, проведите окружность.
5. Эта окружность коснется каждой из пяти сторон пятиугольника в их серединах.

Ответ: Вписанная окружность построена. Её центр совпадает с центром описанной окружности, а радиус равен длине перпендикуляра, опущенного из центра на любую сторону.

Условие 2015-2022.

643. Начертите пятиугольник, каждый угол которого равен $108^{\circ}$, а каждая сторона – 3 см. Опишите около этого пятиугольника окружность и впишите в него окружность.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).