Номер 645, страница 143 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Многоугольники. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 645, страница 143.

Условие 2023.

645. Начертите окружность произвольного радиуса, разделите её на 12 равных дуг. Используя точки деления, постройте двенадцатиугольник, вписанный в окружность.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения задачи выполним последовательность построений с помощью циркуля и линейки без делений.

Начертите окружность произвольного радиуса

1. Выберите на листе бумаги произвольную точку $O$, которая будет служить центром окружности.

2. С помощью циркуля установите любой удобный раствор (это будет радиус $R$) и, установив ножку циркуля в точку $O$, проведите окружность.

Ответ: Начерчена окружность с центром $O$ и радиусом $R$.

разделите её на 12 равных дуг

Чтобы разделить окружность на 12 равных частей, сначала разделим её на 6 равных частей, а затем каждую из полученных дуг разделим пополам.

1. Деление на 6 равных дуг. Этот шаг основан на свойстве правильного вписанного шестиугольника, сторона которого равна радиусу описанной окружности.
а) Выберите любую точку на окружности и обозначьте ее $A_1$.
б) Не меняя раствора циркуля, который установлен на радиус $R$, поставьте его ножку в точку $A_1$ и сделайте на окружности засечку, получив точку $A_2$.
в) Переместите ножку циркуля в точку $A_2$ и аналогично отметьте точку $A_3$.
г) Продолжайте этот процесс, последовательно отмечая точки $A_4, A_5, A_6$. При точном построении шестая засечка из точки $A_6$ совпадет с исходной точкой $A_1$.
В результате окружность разделена точками $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$ на шесть равных дуг. Угловая мера каждой дуги составляет $360^\circ / 6 = 60^\circ$.

2. Деление каждой дуги пополам. Теперь необходимо найти середину каждой из шести дуг (например, дуги $A_1A_2$). Для этого построим серединный перпендикуляр к хорде, стягивающей эту дугу.
а) Установите раствор циркуля на значение, которое заведомо больше половины длины хорды $A_1A_2$ (удобно использовать тот же радиус $R$).
б) Поставив ножку циркуля сначала в точку $A_1$, а затем в $A_2$, начертите две пересекающиеся дуги с одной стороны от хорды.
в) С помощью линейки проведите прямую через точку пересечения этих дуг и центр окружности $O$.
г) Точка, в которой эта прямая пересекает исходную окружность, и является серединой дуги $A_1A_2$. Обозначим эту новую точку $B_1$.
д) Повторите аналогичное построение для всех остальных пяти дуг ($A_2A_3, A_3A_4, \ldots, A_6A_1$), получив точки $B_2, B_3, B_4, B_5, B_6$.

Ответ: На окружности отмечены 12 точек ($A_1, B_1, A_2, B_2, \ldots, A_6, B_6$), которые делят ее на 12 равных дуг. Каждая дуга соответствует центральному углу $30^\circ$.

Используя точки деления, постройте двенадцатиугольник, вписанный в окружность

1. Возьмите линейку.

2. Последовательно соедините отрезками все 12 полученных точек, лежащих на окружности, в том порядке, в котором они расположены: $A_1$ с $B_1$, $B_1$ с $A_2$, $A_2$ с $B_2$, и так далее, пока не соедините последнюю точку $B_6$ с первой точкой $A_1$.

Ответ: Построен правильный двенадцатиугольник $A_1B_1A_2B_2\dots A_6B_6A_1$, все вершины которого лежат на исходной окружности.

Условие 2015-2022.

645. Начертите окружность произвольного радиуса, разделите её на 12 равных дуг. Используя точки деления, постройте двенадцатиугольник, вписанный в окружность.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).