Номер 642, страница 143 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Многоугольники. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 642, страница 143.

Условие 2023.

642. Начертите шестиугольник, каждый угол которого равен $120^\circ$, а каждая сторона – 4 см. Опишите около этого шестиугольника окружность и впишите в него окружность.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Шестиугольник, у которого каждый угол равен $120^\circ$ и каждая сторона равна 4 см, является правильным шестиугольником. Задача состоит из трех частей: построение самого шестиугольника, описание около него окружности и вписывание в него окружности.

Начертите шестиугольник

Построение правильного шестиугольника удобно выполнять с помощью циркуля и линейки. Ключевое свойство правильного шестиугольника заключается в том, что радиус описанной около него окружности ($R$) равен его стороне ($a$).
Порядок построения:
1. Выберите на плоскости точку O — это будет центр шестиугольника.
2. С помощью циркуля начертите окружность с центром в точке O и радиусом, равным стороне шестиугольника, то есть $R = 4$ см.
3. Отметьте на окружности произвольную точку A. Это будет первая вершина шестиугольника.
4. Не меняя раствора циркуля (4 см), установите его иглу в точку A и сделайте на окружности засечку, получив точку B.
5. Переместите иглу циркуля в точку B и аналогично отметьте на окружности точку C.
6. Повторяйте этот шаг, последовательно получая точки D, E и F. Последняя засечка из точки F должна совпасть с начальной точкой A.
7. Соедините отрезками прямых соседние точки: A и B, B и C, и так далее до F и A.
Полученная фигура ABCDEF является искомым правильным шестиугольником.

Опишите около этого шестиугольника окружность

Описанная окружность — это окружность, проходящая через все вершины многоугольника.
Как видно из построения, мы уже начертили эту окружность. Её центр находится в точке O, а её радиус $R$ равен стороне шестиугольника $a$.
$R = a = 4 \text{ см}$
Ответ: Описанная окружность имеет центр в центре шестиугольника и радиус $R = 4$ см.

Впишите в него окружность

Вписанная окружность — это окружность, которая касается каждой из сторон многоугольника. Её центр совпадает с центром шестиугольника O.
Радиус вписанной окружности $r$ (также называемый апофемой) равен длине перпендикуляра, опущенного из центра O на любую сторону шестиугольника.
Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$, где O — центр, а A и B — соседние вершины. Так как $R=a$, этот треугольник является равносторонним со стороной 4 см. Радиус вписанной окружности $r$ является высотой этого треугольника.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом описанной окружности $R=OA=4$ см (гипотенуза), половиной стороны шестиугольника $a/2 = 4/2 = 2$ см (катет) и радиусом вписанной окружности $r$ (второй катет).
По теореме Пифагора:
$r^2 + (a/2)^2 = R^2$
$r^2 + 2^2 = 4^2$
$r^2 + 4 = 16$
$r^2 = 12$
$r = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \text{ см}$
Для построения вписанной окружности нужно из центра O провести окружность радиусом $r = 2\sqrt{3} \text{ см}$ (приблизительно 3,46 см).
Ответ: Вписанная окружность имеет центр в центре шестиугольника и радиус $r = 2\sqrt{3}$ см.

Условие 2015-2022.

642. Начертите шестиугольник, каждый угол которого равен $120^\circ$, а каждая сторона – 4 см. Опишите около этого шестиугольника окружность и впишите в него окружность.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).