Номер 655, страница 144 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Многоугольники. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 655, страница 144.

Условие 2023.

655. В выпуклом многоугольнике 54 диагонали. Найдите количество его сторон и сумму углов.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения этой задачи необходимо использовать две основные формулы, связанные со свойствами выпуклых многоугольников: формулу для нахождения количества диагоналей и формулу для нахождения суммы внутренних углов.

Нахождение количества сторон

Количество диагоналей ($D$) в выпуклом многоугольнике с $n$ сторонами определяется по формуле:

$D = \frac{n(n-3)}{2}$

Согласно условию, в многоугольнике 54 диагонали. Подставим это значение в формулу и решим уравнение относительно $n$:

$54 = \frac{n(n-3)}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$108 = n(n-3)$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $an^2 + bn + c = 0$:

$108 = n^2 - 3n$

$n^2 - 3n - 108 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант ($D_{k}$):

$D_{k} = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 9 + 432 = 441$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D_{k}}}{2a}$:

$n_1 = \frac{3 + \sqrt{441}}{2} = \frac{3 + 21}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$n_2 = \frac{3 - \sqrt{441}}{2} = \frac{3 - 21}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Поскольку количество сторон многоугольника не может быть отрицательным, корень $n_2 = -9$ не подходит. Таким образом, многоугольник имеет 12 сторон.

Ответ: 12 сторон.

Нахождение суммы углов

Сумма внутренних углов ($S$) выпуклого многоугольника с $n$ сторонами вычисляется по формуле:

$S = 180^\circ \cdot (n-2)$

Мы определили, что количество сторон $n = 12$. Подставим это значение в формулу:

$S = 180^\circ \cdot (12-2)$

$S = 180^\circ \cdot 10$

$S = 1800^\circ$

Следовательно, сумма углов данного многоугольника составляет $1800^\circ$.

Ответ: $1800^\circ$.

Условие 2015-2022.

655. В выпуклом многоугольнике 54 диагонали. Найдите количество его сторон и сумму углов.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).