Номер 661, страница 145 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Многоугольники. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 661, страница 145.

Условие 2023.

661. Докажите, что если углы выпуклого пятиугольника равны, то он не имеет параллельных сторон.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для начала найдём величину каждого внутреннего угла выпуклого пятиугольника, у которого все углы равны. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника определяется по формуле $S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$.

Для пятиугольника ($n=5$) сумма углов составляет:

$S_5 = (5-2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$

Так как все пять углов равны, то каждый угол $\alpha$ равен:

$\alpha = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ$

Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что у такого пятиугольника есть пара параллельных сторон. В выпуклом пятиугольнике параллельными могут быть только стороны, не имеющие общих вершин. Рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1: Параллельны стороны, разделённые одной стороной.

Пусть стороны $AB$ и $CD$ пятиугольника $ABCDE$ параллельны ($AB \parallel CD$). Тогда сторона $BC$ является секущей для этих параллельных прямых. Согласно свойству параллельных прямых, сумма внутренних односторонних углов должна быть равна $180^\circ$.

$\angle ABC + \angle BCD = 180^\circ$

Однако по условию каждый из этих углов равен $108^\circ$. Следовательно, их сумма равна:

$108^\circ + 108^\circ = 216^\circ$

Мы получили противоречие ($216^\circ \neq 180^\circ$), значит, стороны, разделённые одной стороной, не могут быть параллельны.

Случай 2: Параллельны стороны, разделённые двумя сторонами.

Пусть стороны $AB$ и $DE$ пятиугольника $ABCDE$ параллельны ($AB \parallel DE$). Проведём через вершину $C$ прямую $l$, параллельную $AB$ (и, следовательно, $DE$). Эта прямая разделит угол $\angle BCD$ на два угла, которые мы обозначим $\angle BCl$ и $\angle lCD$.

Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $l$ и секущую $BC$. Сумма внутренних односторонних углов $\angle ABC$ и $\angle BCl$ равна $180^\circ$. Отсюда:

$\angle BCl = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$

Теперь рассмотрим параллельные прямые $DE$ и $l$ и секущую $CD$. Сумма внутренних односторонних углов $\angle CDE$ и $\angle lCD$ также равна $180^\circ$. Отсюда:

$\angle lCD = 180^\circ - \angle CDE = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$

Тогда полный угол при вершине $C$ должен быть равен сумме этих двух углов:

$\angle BCD = \angle BCl + \angle lCD = 72^\circ + 72^\circ = 144^\circ$

Но мы знаем, что угол $\angle BCD$ равен $108^\circ$. Снова получаем противоречие ($144^\circ \neq 108^\circ$). Значит, и стороны, разделённые двумя сторонами, не могут быть параллельны.

Поскольку мы рассмотрели все возможные случаи расположения параллельных сторон и в каждом из них пришли к противоречию, наше первоначальное предположение неверно.

Ответ: Доказано, что если углы выпуклого пятиугольника равны, то он не имеет параллельных сторон.

Условие 2015-2022.

661. Докажите, что если углы выпуклого пятиугольника равны, то он не имеет параллельных сторон.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).