Номер 664, страница 145 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Многоугольники. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 664, страница 145.

Условие 2023.

664. Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) делит катет $BC$ на отрезки длиной 6 см и 10 см. Найдите радиус окружности, которая проходит через точку $A$, точку $C$ и точку пересечения данной биссектрисы с катетом $BC$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть в треугольнике $ABC$ угол $\angle C = 90^\circ$. Пусть $AL$ — биссектриса угла $A$, где точка $L$ лежит на катете $BC$.

По условию, биссектриса делит катет $BC$ на отрезки длиной 6 см и 10 см. Так как биссектриса выходит из вершины $A$, то отрезок, прилежащий к катету $AC$ (и вершине $C$), это $CL$, а другой отрезок — $LB$. Таким образом, $CL = 6$ см и $LB = 10$ см.

Длина катета $BC$ равна сумме длин этих отрезков:$BC = CL + LB = 6 + 10 = 16$ см.

Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:$\frac{AC}{AB} = \frac{CL}{LB}$

Подставим известные значения:$\frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$Отсюда получаем соотношение между гипотенузой и катетом: $AB = \frac{5}{3} AC$.

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$:$AB^2 = AC^2 + BC^2$

Подставим в это уравнение выражение для $AB$ и значение $BC$:$(\frac{5}{3} AC)^2 = AC^2 + 16^2$$\frac{25}{9} AC^2 = AC^2 + 256$$\frac{25}{9} AC^2 - AC^2 = 256$$(\frac{25}{9} - \frac{9}{9}) AC^2 = 256$$\frac{16}{9} AC^2 = 256$$AC^2 = \frac{256 \cdot 9}{16} = 16 \cdot 9 = 144$$AC = \sqrt{144} = 12$ см.

Нам нужно найти радиус окружности, которая проходит через точки $A$, $C$ и $L$. Эти три точки образуют треугольник $ACL$. Следовательно, искомый радиус — это радиус описанной окружности треугольника $ACL$.

Рассмотрим треугольник $ACL$. Угол $\angle ACL$ совпадает с углом $\angle C$ треугольника $ABC$, поэтому $\angle ACL = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $ACL$ является прямоугольным.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине длины его гипотенузы. В треугольнике $ACL$ гипотенузой является сторона $AL$.$R = \frac{AL}{2}$

Найдем длину гипотенузы $AL$ по теореме Пифагора в треугольнике $ACL$:$AL^2 = AC^2 + CL^2$$AL^2 = 12^2 + 6^2 = 144 + 36 = 180$$AL = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ см.

Теперь вычислим радиус описанной окружности:$R = \frac{AL}{2} = \frac{6\sqrt{5}}{2} = 3\sqrt{5}$ см.

Ответ: $3\sqrt{5}$ см.

Условие 2015-2022.

664. Биссектриса угла A треугольника ABC ($\angle C = 90^\circ$) делит катет BC на отрезки длиной 6 см и 10 см. Найдите радиус окружности, которая проходит через точку A, точку C и точку пересечения данной биссектрисы с катетом BC.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).