Номер 665, страница 145 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Многоугольники. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 665, страница 145.

Условие 2023.

665. На окружности, радиус которой равен 1, отметили 1000 точек. Докажите, что найдётся точка, принадлежащая данной окружности, сумма расстояний от которой до отмеченных точек больше 1000.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть на окружности $C$ с центром в точке $O$ и радиусом $R=1$ отмечены точки $A_1, A_2, \ldots, A_{1000}$.

Для любой точки $P$, принадлежащей окружности $C$, рассмотрим сумму расстояний от неё до отмеченных точек:

$S(P) = \sum_{i=1}^{1000} |PA_i|$

Мы должны доказать, что найдётся такая точка $P_0$ на окружности $C$, для которой $S(P_0) > 1000$.

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что утверждение неверно. То есть, для любой точки $P$ на окружности $C$ выполняется неравенство:

$S(P) \le 1000$

Выберем на окружности произвольную точку $P$ и рассмотрим точку $P'$, диаметрально ей противоположную. Расстояние между точками $P$ и $P'$ равно диаметру окружности, то есть $|PP'| = 2R = 2$.

Рассмотрим сумму $S(P) + S(P')$.

$S(P) + S(P') = \sum_{i=1}^{1000} |PA_i| + \sum_{i=1}^{1000} |P'A_i| = \sum_{i=1}^{1000} (|PA_i| + |P'A_i|)$

Для каждой точки $A_i$ рассмотрим треугольник $\triangle PA_iP'$. Согласно неравенству треугольника, сумма длин двух его сторон не меньше длины третьей стороны:

$|PA_i| + |P'A_i| \ge |PP'| = 2$

Сложив эти неравенства для всех $i$ от 1 до 1000, получим:

$S(P) + S(P') = \sum_{i=1}^{1000} (|PA_i| + |P'A_i|) \ge \sum_{i=1}^{1000} 2 = 2000$

Итак, для любой пары диаметрально противоположных точек $P$ и $P'$ на окружности выполняется неравенство $S(P) + S(P') \ge 2000$.

С другой стороны, согласно нашему первоначальному предположению, для точек $P$ и $P'$ должны выполняться неравенства:

$S(P) \le 1000$

$S(P') \le 1000$

Складывая эти два неравенства, получаем:

$S(P) + S(P') \le 2000$

Сопоставляя два полученных результата ($S(P) + S(P') \ge 2000$ и $S(P) + S(P') \le 2000$), мы приходим к выводу, что для любой пары диаметрально противоположных точек $P$ и $P'$ должно выполняться строгое равенство:

$S(P) + S(P') = 2000$

Это равенство возможно только в том случае, если для каждого $i$ от 1 до 1000 выполняется равенство $|PA_i| + |P'A_i| = 2$. Равенство в неравенстве треугольника достигается тогда и только тогда, когда точка $A_i$ лежит на отрезке, соединяющем точки $P$ и $P'$.

Таким образом, для того чтобы выполнялось равенство $S(P) + S(P') = 2000$, необходимо, чтобы все отмеченные точки $A_1, A_2, \ldots, A_{1000}$ лежали на диаметре, проходящем через точки $P$ и $P'$.

Однако мы установили, что это равенство должно выполняться для любой произвольно выбранной точки $P$ на окружности. Это означало бы, что все 1000 точек $A_i$ должны лежать на каждом диаметре окружности. Это невозможно, так как разные диаметры пересекаются только в одной точке — центре окружности, а все точки $A_i$ лежат на самой окружности.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Следовательно, существует точка $P$ на окружности, для которой $S(P) > 1000$.

Ответ: Утверждение доказано. Найдётся точка на окружности, сумма расстояний от которой до отмеченных точек больше 1000.

Условие 2015-2022.

665. На окружности, радиус которой равен 1, отметили 1000 точек. Докажите, что найдётся точка, принадлежащая данной окружности, сумма расстояний от которой до отмеченных точек больше 1000.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).