Номер 7, страница 148 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 20. Понятие площади многоугольника. Площадь прямоугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 7, страница 148.

Условие 2023.

7. Можно ли утверждать, что если две фигуры равны, то они равновелики?

Решение 6 (2023).

Для ответа на этот вопрос необходимо разобраться в определениях понятий "равные фигуры" и "равновеликие фигуры".

Равные фигуры (или конгруэнтные фигуры) — это фигуры, которые можно совместить друг с другом путем наложения (с помощью движения: параллельного переноса, поворота, симметрии). Это означает, что они имеют одинаковую форму и одинаковые размеры. Например, у равных треугольников соответственно равны все стороны и все углы.

Равновеликие фигуры — это фигуры, имеющие одинаковую площадь. Их форма при этом может быть совершенно разной. Например, квадрат со стороной $a=4$ (площадь $S = 4^2 = 16$) и прямоугольник со сторонами $b=2$ и $c=8$ (площадь $S = 2 \cdot 8 = 16$) являются равновеликими, но они не равны, так как их нельзя совместить наложением.

Рассмотрим утверждение: «если две фигуры равны, то они равновелики».

Пусть есть две равные фигуры, $F_1$ и $F_2$. По определению равенства, фигуру $F_1$ можно переместить так, что она полностью совпадет с фигурой $F_2$. Площадь является одной из основных характеристик фигуры, и она инвариантна относительно движений. Это означает, что при перемещении, повороте или отражении фигуры её площадь не изменяется. Поскольку фигура $F_1$ после перемещения совпадает с $F_2$, они занимают одинаковую часть плоскости. Следовательно, их площади должны быть равны.

Это одно из фундаментальных свойств площади: если фигуры равны, то их площади равны. Если $S(F)$ обозначает площадь фигуры $F$, то из равенства фигур $F_1 = F_2$ всегда следует равенство их площадей $S(F_1) = S(F_2)$.

Таким образом, утверждение является верным. Любые две равные фигуры всегда имеют одинаковую площадь, а значит, они равновелики.

Ответ: Да, можно. По определению, равные фигуры имеют одинаковую форму и размеры. Площадь — это численная характеристика размера фигуры, поэтому у равных фигур площади также равны. Следовательно, равные фигуры всегда равновелики.

Условие 2015-2022.

7. Можно ли утверждать, что если две фигуры равны, то они равновелики?