Номер 663, страница 145 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Многоугольники. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 663, страница 145.

Условие 2023.

663. Медиана и высота прямоугольного треугольника, проведённые к гипотенузе, равны соответственно 13 см и 12 см. Найдите периметр данного треугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть $a$ и $b$ — длины катетов ($BC$ и $AC$), а $c$ — длина гипотенузы ($AB$).

По условию, медиана, проведённая к гипотенузе, равна 13 см. Обозначим её $m_c$. Высота, проведённая к гипотенузе, равна 12 см. Обозначим её $h_c$.

1. Найдём длину гипотенузы $c$.

В прямоугольном треугольнике длина медианы, проведённой к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы.

$m_c = \frac{c}{2}$

Отсюда, $c = 2 \cdot m_c = 2 \cdot 13 = 26$ см.

2. Найдём сумму длин катетов $a+b$.

Для нахождения периметра $P = a + b + c$ нам нужно найти сумму катетов $a+b$. Воспользуемся двумя известными формулами для прямоугольного треугольника:

1) Теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

2) Формула площади через катеты и через высоту к гипотенузе: $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch_c$, откуда следует $ab = ch_c$.

Подставим известные значения $c = 26$ см и $h_c = 12$ см:

$a^2 + b^2 = 26^2 = 676$

$ab = 26 \cdot 12 = 312$

Теперь рассмотрим квадрат суммы катетов $(a+b)^2$:

$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$

Подставим найденные значения:

$(a+b)^2 = 676 + 2 \cdot 312 = 676 + 624 = 1300$

Следовательно, сумма катетов равна:

$a+b = \sqrt{1300} = \sqrt{100 \cdot 13} = 10\sqrt{13}$ см.

3. Найдём периметр треугольника.

Периметр $P$ — это сумма длин всех сторон:

$P = (a+b) + c$

$P = 10\sqrt{13} + 26$ см.

Ответ: $P = (26 + 10\sqrt{13})$ см.

Условие 2015-2022.

663. Медиана и высота прямоугольного треугольника, проведённые к гипотенузе, равны соответственно 13 см и 12 см. Найдите периметр данного треугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).