Номер 658, страница 144 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Многоугольники. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 658, страница 144.

Условие 2023.

658. Все стороны выпуклого пятиугольника равны, а углы, прилежащие к одной из сторон, — прямые. Найдите остальные углы пятиугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$, все стороны которого равны $a$. По условию, углы, прилежащие к одной из сторон, — прямые. Пусть этой стороной будет $BC$. Тогда $\angle ABC = 90^\circ$ и $\angle BCD = 90^\circ$. Нам нужно найти остальные три угла: $\angle CDE$, $\angle DEA$ и $\angle EAB$.

Рассмотрим последовательность вершин $A, B, C, D$.

1. У нас есть стороны $AB=BC=CD=a$.
2. Углы $\angle ABC$ и $\angle BCD$ равны $90^\circ$.

Так как $\angle ABC = 90^\circ$, то сторона $AB$ перпендикулярна стороне $BC$.
Так как $\angle BCD = 90^\circ$, то сторона $CD$ перпендикулярна стороне $BC$.

Две прямые ($AB$ и $CD$), перпендикулярные третьей прямой ($BC$), параллельны между собой. Таким образом, $AB \parallel CD$.
Расстояние между этими параллельными прямыми равно длине отрезка $BC$, то есть $a$.
Поскольку длины самих отрезков $AB$ и $CD$ также равны $a$, четырехугольник $ABCD$ является прямоугольником. А так как смежные стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB=BC=a$), то $ABCD$ — это квадрат.

Теперь рассмотрим пятую вершину $E$. Она соединена с вершинами $A$ и $D$, образуя стороны $AE$ и $DE$, которые по условию также равны $a$.
Рассмотрим треугольник $ADE$. Его стороны:

• $AE = a$ (по условию)
• $DE = a$ (по условию)
• $AD$ — это диагональ квадрата $ABCD$. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Однако, если $ABCD$ является квадратом, то его сторонами являются $AB, BC, CD, DA$. Это значит, что сторона $DA$ пятиугольника должна быть равна $a$, что совпадает со стороной квадрата. Следовательно, треугольник $ADE$ имеет стороны $DE=a$, $EA=a$ и $AD=a$.

Таким образом, треугольник $ADE$ является равносторонним, так как все три его стороны равны $a$. Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$.
$\angle ADE = 60^\circ$
$\angle DEA = 60^\circ$
$\angle EAD = 60^\circ$

Теперь мы можем найти неизвестные углы пятиугольника $ABCDE$. Пятиугольник состоит из квадрата $ABCD$ и равностороннего треугольника $ADE$, примыкающего к стороне $AD$. Так как пятиугольник выпуклый, треугольник $ADE$ расположен снаружи квадрата $ABCD$.

Угол при вершине D:

Угол $\angle CDE$ пятиугольника складывается из угла квадрата при вершине $D$ ($\angle CDA$) и угла равностороннего треугольника при вершине $D$ ($\angle ADE$).
$\angle CDE = \angle CDA + \angle ADE = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ$.

Ответ: $150^\circ$.

Угол при вершине A:

Угол $\angle EAB$ пятиугольника складывается из угла квадрата при вершине $A$ ($\angle DAB$) и угла равностороннего треугольника при вершине $A$ ($\angle EAD$).
$\angle EAB = \angle DAB + \angle EAD = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ$.

Ответ: $150^\circ$.

Угол при вершине E:

Угол $\angle DEA$ пятиугольника — это просто угол равностороннего треугольника $ADE$ при вершине $E$.
$\angle DEA = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

Итак, два угла пятиугольника равны $90^\circ$, а три других — $150^\circ$, $150^\circ$ и $60^\circ$.

Проверим сумму углов выпуклого пятиугольника: $S = (5-2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ$.
Сумма найденных углов: $90^\circ + 90^\circ + 150^\circ + 150^\circ + 60^\circ = 180^\circ + 300^\circ + 60^\circ = 540^\circ$.
Сумма сходится, решение верное.

Итоговый ответ:

Два угла пятиугольника, прилежащие к одной стороне, по условию равны $90^\circ$. Остальные три угла равны $150^\circ$, $150^\circ$ и $60^\circ$.

Ответ: $150^\circ, 150^\circ, 60^\circ$.

Условие 2015-2022.

658. Все стороны выпуклого пятиугольника равны, а углы, прилежащие к одной из сторон, — прямые. Найдите остальные углы пятиугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).