Номер 654, страница 144 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Многоугольники. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 654, страница 144.

Условие 2023.

654. Сколько диагоналей можно провести:

1) в девятиугольнике;

2) в двадцатиугольнике;

3) в $n$-угольнике?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

1) в девятиугольнике

Количество диагоналей $D$ в выпуклом $n$-угольнике вычисляется по формуле $D = \frac{n(n-3)}{2}$, где $n$ — это число сторон (или вершин) многоугольника. Для девятиугольника $n=9$, поэтому подставляем это значение в формулу:

$D = \frac{9(9-3)}{2} = \frac{9 \cdot 6}{2} = \frac{54}{2} = 27$

Ответ: 27

2) в двадцатиугольнике

Используем ту же формулу $D = \frac{n(n-3)}{2}$. Для двадцатиугольника число сторон $n=20$. Выполним подстановку:

$D = \frac{20(20-3)}{2} = \frac{20 \cdot 17}{2} = 10 \cdot 17 = 170$

Ответ: 170

3) в n-угольнике

Выведем общую формулу для количества диагоналей в произвольном выпуклом $n$-угольнике. У $n$-угольника есть $n$ вершин.

Из каждой отдельной вершины можно провести диагональ ко всем остальным вершинам, за исключением трех: самой себя и двух соседних с ней (отрезки, соединяющие вершину с соседними, являются сторонами, а не диагоналями). Таким образом, из одной вершины можно провести $n-3$ диагонали.

Поскольку в многоугольнике $n$ вершин, то общее число исходящих диагоналей, если считать из каждой вершины, будет равно $n \cdot (n-3)$. Однако при таком подходе каждая диагональ учитывается ровно два раза (например, диагональ, соединяющая вершину А и вершину В, посчитана и как выходящая из А, и как выходящая из В). Следовательно, чтобы получить истинное число диагоналей, полученное произведение необходимо разделить на 2.

Таким образом, итоговая формула для нахождения числа диагоналей в $n$-угольнике выглядит следующим образом:

$D = \frac{n(n-3)}{2}$

Ответ: $\frac{n(n-3)}{2}$

Условие 2015-2022.

654. Сколько диагоналей можно провести:

1) в девятиугольнике;

2) в два-дцатиугольнике;

3) в $n$-угольнике?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).