Номер 689, страница 150 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 20. Понятие площади многоугольника. Площадь прямоугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 689, страница 150.

Условие 2023.

689. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в отношении $2:7$. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 108 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный двумя смежными сторонами прямоугольника ($a$ и $b$) и его диагональю. Биссектриса угла этого треугольника (который является углом прямоугольника и равен $90^\circ$) делит противолежащую сторону (диагональ) на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам (сторонам прямоугольника). Это следует из свойства биссектрисы угла треугольника.

Согласно условию, диагональ делится в отношении $2:7$. Следовательно, отношение сторон прямоугольника также равно $2:7$.

$\frac{a}{b} = \frac{2}{7}$

Пусть $a = 2x$ и $b = 7x$, где $x$ — коэффициент пропорциональности.

Периметр прямоугольника $P$ задан и равен 108 см. Формула периметра: $P = 2(a + b)$.

Подставим наши значения в формулу периметра и решим уравнение:

$2(2x + 7x) = 108$

$2(9x) = 108$

$18x = 108$

$x = \frac{108}{18} = 6$

Теперь найдем длины сторон прямоугольника:

$a = 2x = 2 \cdot 6 = 12$ см

$b = 7x = 7 \cdot 6 = 42$ см

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

$S = 12 \cdot 42 = 504$ см².

Ответ: 504 см².

Условие 2015-2022.

689. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в отношении 2 : 7. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 108 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).