Номер 683, страница 149 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 20. Понятие площади многоугольника. Площадь прямоугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 683, страница 149.

Условие 2023.

683. На продолжении стороны AD за точку D параллелограмма ABCD отмечена точка M так, что $AD = MD$. Докажите, что параллелограмм ABCD и треугольник ABM равновелики.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства того, что параллелограмм $ABCD$ и треугольник $ABM$ равновелики, необходимо показать, что их площади равны.

1. Найдем площадь параллелограмма $ABCD$. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Примем за основание сторону $AD$ и проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к прямой, содержащей сторону $AD$. Тогда площадь параллелограмма $S_{ABCD}$ вычисляется по формуле:

$S_{ABCD} = AD \cdot BH$

2. Найдем площадь треугольника $ABM$. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Основанием треугольника является сторона $AM$. Высота, проведенная из вершины $B$ к основанию $AM$, совпадает с высотой $BH$ параллелограмма, так как точки $A, D, M$ лежат на одной прямой. Следовательно, площадь треугольника $S_{ABM}$ равна:

$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BH$

3. По условию задачи, точка $M$ лежит на продолжении стороны $AD$ за точку $D$, причем $AD = MD$. Длина отрезка $AM$ является суммой длин отрезков $AD$ и $MD$:

$AM = AD + MD$

Заменяя $MD$ на равный ему отрезок $AD$, получаем:

$AM = AD + AD = 2 \cdot AD$

4. Теперь подставим полученное выражение для $AM$ в формулу площади треугольника $ABM$:

$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot AD) \cdot BH = AD \cdot BH$

5. Сравнив выражения для площадей, мы видим, что $S_{ABCD} = AD \cdot BH$ и $S_{ABM} = AD \cdot BH$. Таким образом:

$S_{ABCD} = S_{ABM}$

Поскольку площади фигур равны, параллелограмм $ABCD$ и треугольник $ABM$ являются равновеликими, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство площадей параллелограмма $ABCD$ и треугольника $ABM$ доказано, следовательно, они равновелики.

Условие 2015-2022.

683. На продолжении стороны $AD$ за точку $D$ параллелограмма $ABCD$ отмечена точка $M$ так, что $AD = MD$. Докажите, что параллелограмм $ABCD$ и треугольник $ABM$ равновелики.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).