Номер 676, страница 149 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 20. Понятие площади многоугольника. Площадь прямоугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 676, страница 149.

Условие 2023.

676. Диагональ прямоугольника равна $d$ и образует с одной из сторон угол $\alpha$. Найдите площадь прямоугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Его площадь $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

Диагональ $d$ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. В этих треугольниках диагональ является гипотенузой, а стороны прямоугольника $a$ и $b$ — катетами.

По условию задачи, диагональ $d$ образует с одной из сторон (для определённости, пусть это будет сторона $a$) угол $\alpha$. В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами $a$, $b$ и диагональю $d$, сторона $a$ будет катетом, прилежащим к углу $\alpha$, а сторона $b$ — катетом, противолежащим этому углу.

Используя определения синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике, мы можем выразить длины сторон $a$ и $b$ через диагональ $d$ и угол $\alpha$:

Для прилежащего катета $a$: $\cos(\alpha) = \frac{a}{d}$, откуда $a = d \cdot \cos(\alpha)$.

Для противолежащего катета $b$: $\sin(\alpha) = \frac{b}{d}$, откуда $b = d \cdot \sin(\alpha)$.

Теперь подставим полученные выражения для сторон в формулу площади прямоугольника:

$S = a \cdot b = (d \cdot \cos(\alpha)) \cdot (d \cdot \sin(\alpha)) = d^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$.

Это выражение можно упростить, применив формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$. Из этой формулы следует, что $\sin(\alpha) \cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

Подставим это в наше выражение для площади и получим окончательный вид:

$S = d^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\sin(2\alpha)\right) = \frac{1}{2}d^2 \sin(2\alpha)$.

Ответ: $S = \frac{1}{2}d^2 \sin(2\alpha)$

Условие 2015-2022.

676. Диагональ прямоугольника равна $d$ и образует с одной из сторон угол $\alpha$. Найдите площадь прямоугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).