Номер 690, страница 150 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 20. Понятие площади многоугольника. Площадь прямоугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 690, страница 150.

Условие 2023.

690. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в отношении $1 : 4$. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна $36 \text{ см}^2$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = a$ и $AD = b$. Проведем биссектрису $AK$ угла $A$, которая пересекает диагональ $BD$ в точке $K$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Угол $A$ в этом треугольнике прямой ($90^\circ$), но биссектриса $AK$ является биссектрисой угла $DAB$. По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону (в данном случае, диагональ $BD$) на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам ($AB$ и $AD$).

Таким образом, для биссектрисы $AK$ в треугольнике $ABD$ справедливо соотношение:
$\frac{BK}{KD} = \frac{AB}{AD}$

По условию задачи, биссектриса делит диагональ в отношении $1:4$. Это означает, что $\frac{BK}{KD} = \frac{1}{4}$ (или $\frac{4}{1}$, что приведет к такому же прямоугольнику, просто с другими обозначениями для длины и ширины).

Приравняем отношения:
$\frac{AB}{AD} = \frac{a}{b} = \frac{1}{4}$
Отсюда получаем, что $b = 4a$.

Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его сторон: $S = a \cdot b$. По условию, $S = 36 \text{ см}^2$. Подставим найденное соотношение сторон в формулу площади:
$a \cdot (4a) = 36$
$4a^2 = 36$
$a^2 = \frac{36}{4}$
$a^2 = 9$
$a = 3$ см (так как длина стороны является положительной величиной).

Теперь найдем вторую сторону:
$b = 4a = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Найдем периметр:
$P = 2(3 + 12) = 2 \cdot 15 = 30$ см.

Ответ: 30 см.

Условие 2015-2022.

690. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в отношении 1 : 4. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 36 $cm^2$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).