Номер 692, страница 150 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 20. Понятие площади многоугольника. Площадь прямоугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 692, страница 150.

Условие 2023.

692. Стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Постройте квадрат, площадь которого равна площади данного прямоугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Его площадь $S_{пр}$ равна $a \cdot b$. Требуется построить квадрат со стороной $x$ такой, что его площадь $S_{кв} = x^2$ равна площади прямоугольника. Из равенства $x^2 = a \cdot b$ следует, что сторона квадрата $x$ должна быть равна среднему геометрическому (среднему пропорциональному) сторон $a$ и $b$: $x = \sqrt{a \cdot b}$. Таким образом, задача сводится к построению отрезка $x$ с помощью циркуля и линейки, а затем построению квадрата на этом отрезке.

Построение выполняется следующим образом:

1. На произвольной прямой откладывается отрезок, равный сумме сторон $a+b$. Для этого на прямой от точки $A$ откладывается отрезок $AB=a$, и от точки $B$ в том же направлении откладывается отрезок $BC=b$.
2. Находится середина $O$ полученного отрезка $AC$. Для этого строится серединный перпендикуляр к $AC$.
3. На отрезке $AC$ как на диаметре строится полуокружность (с центром в точке $O$ и радиусом $OA$).
4. Из точки $B$ восстанавливается перпендикуляр к прямой $AC$ до его пересечения с полуокружностью в точке $D$.
5. Полученный отрезок $BD$ является искомой стороной квадрата $x$. Это следует из свойства высоты прямоугольного треугольника: треугольник $ADC$ является прямоугольным (угол $\angle ADC=90^\circ$, так как он вписанный и опирается на диаметр), а $BD$ — его высота, проведенная к гипотенузе. По теореме о высоте, $BD^2 = AB \cdot BC = a \cdot b$, следовательно, $BD = \sqrt{a \cdot b}$.
6. Используя отрезок $BD$ как сторону, строится квадрат. Например, откладывается отрезок $PQ$, равный $BD$. В точках $P$ и $Q$ строятся перпендикуляры к $PQ$, на которых откладываются отрезки $PS$ и $QR$, равные $BD$. Соединение точек $S$ и $R$ завершает построение квадрата $PQRS$.

Площадь построенного квадрата $PQRS$ равна $BD^2 = a \cdot b$, что равно площади исходного прямоугольника.

Ответ: Искомый квадрат — это квадрат, построенный на отрезке, который является средним геометрическим сторон $a$ и $b$ данного прямоугольника. Алгоритм построения описан выше.

Условие 2015-2022.

692. Стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Постройте квадрат, площадь которого равна площади данного прямоугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).