Номер 691, страница 150 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 20. Понятие площади многоугольника. Площадь прямоугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 691, страница 150.

Условие 2023.

691. Постройте квадрат, площадь которого равна сумме площадей двух данных квадратов.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть даны два квадрата со сторонами $a$ и $b$. Их площади равны $S_1 = a^2$ и $S_2 = b^2$ соответственно. Требуется построить третий квадрат со стороной $c$ и площадью $S_3 = c^2$ таким образом, чтобы выполнялось условие $S_3 = S_1 + S_2$.

Подставив выражения для площадей, мы получим математическое соотношение для сторон квадратов: $c^2 = a^2 + b^2$.

Это равенство является формулировкой теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, у которого катеты равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Следовательно, задача сводится к построению отрезка, длина которого равна гипотенузе такого треугольника, и последующему построению квадрата на этом отрезке.

Алгоритм построения:

1. Возьмем длины сторон данных квадратов, $a$ и $b$.
2. Построим прямой угол. Для этого проведем прямую, выберем на ней точку $O$ и восстановим в этой точке перпендикуляр к прямой.
3. На одной стороне прямого угла отложим от вершины $O$ отрезок $OA$, равный стороне первого квадрата, $a$.
4. На другой стороне прямого угла отложим от вершины $O$ отрезок $OB$, равный стороне второго квадрата, $b$.
5. Соединим точки $A$ и $B$. В результате получим прямоугольный треугольник $OAB$.
6. Гипотенуза $AB$ этого треугольника является стороной искомого квадрата. Обозначим ее длину как $c$.
7. Построим квадрат на стороне $AB$. Для этого из точек $A$ и $B$ проведем лучи, перпендикулярные отрезку $AB$ (в одну и ту же полуплоскость), отложим на них отрезки $AD$ и $BC'$, равные $AB$, и соединим их концы $D$ и $C'$. Полученный четырехугольник $ABС'D$ — искомый квадрат.

Доказательство:

Площадь построенного квадрата со стороной $c = AB$ равна $S_3 = c^2 = AB^2$. По построению, треугольник $OAB$ — прямоугольный с катетами $OA = a$ и $OB = b$. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $AB^2 = OA^2 + OB^2$. Подставив длины сторон, получаем $c^2 = a^2 + b^2$. Так как $S_1 = a^2$ и $S_2 = b^2$ — это площади исходных квадратов, то площадь построенного квадрата $S_3 = S_1 + S_2$. Таким образом, построение выполнено верно.

Ответ: Искомый квадрат — это квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, катеты которого равны сторонам двух данных квадратов.

Условие 2015-2022.

691. Постройте квадрат, площадь которого равна сумме площадей двух данных квадратов.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).