Номер 693, страница 150 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 20. Понятие площади многоугольника. Площадь прямоугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 693, страница 150.

Условие 2023.

693. Серединный перпендикуляр диагонали $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекает стороны $AB$ и $CD$. Продолжения сторон $AD$ и $BC$ он пересекает в точках $M$ и $K$ соответственно. Определите вид четырёхугольника $MBKD$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $ABCD$ — заданный параллелограмм, а $l$ — серединный перпендикуляр к его диагонали $BD$. Пусть $O$ — точка пересечения прямой $l$ и диагонали $BD$.

По определению серединного перпендикуляра, точка $O$ является серединой отрезка $BD$ и прямая $l$ перпендикулярна отрезку $BD$. Это означает, что $BO = OD$ и $l \perp BD$.

Четырехугольник $MBKD$ имеет диагонали $MK$ и $BD$. Так как точки $M$ и $K$ лежат на прямой $l$, то прямая $MK$ совпадает с прямой $l$. Следовательно, диагонали четырехугольника $MBKD$ взаимно перпендикулярны: $MK \perp BD$.

Так как $O$ является серединой $BD$, то диагональ $MK$ делит диагональ $BD$ пополам.

Теперь докажем, что диагональ $BD$ в свою очередь делит пополам диагональ $MK$. Для этого необходимо показать, что $MO = KO$. Рассмотрим треугольники $\triangle MDO$ и $\triangle KBO$.

• $DO = BO$, так как $O$ — середина диагонали $BD$.
• $\angle MDO = \angle KBO$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$ как стороны параллелограмма) и секущей $BD$. Точка $M$ лежит на продолжении стороны $AD$ (т.е. на прямой $AD$), а точка $K$ — на продолжении стороны $BC$ (т.е. на прямой $BC$).
• $\angle MOD = \angle KOB$ как вертикальные углы.

Таким образом, $\triangle MDO \cong \triangle KBO$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $MO = KO$. Это доказывает, что диагональ $BD$ делит пополам диагональ $MK$.

Мы установили, что в четырехугольнике $MBKD$ диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Четырехугольник, диагонали которого обладают таким свойством, является ромбом.

Ответ: Четырёхугольник $MBKD$ — ромб.

Условие 2015-2022.

693. Серединный перпендикуляр диагонали $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекает стороны $AB$ и $CD$. Продолжения сторон $AD$ и $BC$ он пересекает в точках $M$ и $K$ соответственно. Определите вид четырёхугольника $MBKD$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).