Номер 696, страница 151 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 20. Понятие площади многоугольника. Площадь прямоугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 696, страница 151.

Условие 2023.

696. Каждый из двух подобных треугольников разрезали на два треугольника так, что одна из получившихся частей одного треугольника подобна одной из частей другого треугольника. Верно ли, что оставшиеся части также подобны?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Нет, это утверждение не всегда верно. Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример.

Рассмотрим два подобных разносторонних треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$. Пусть их углы равны $\angle A = \angle A' = 80^\circ$, $\angle B = \angle B' = 60^\circ$ и $\angle C = \angle C' = 40^\circ$.

1. Разрежем первый треугольник $\triangle ABC$.
Проведем в $\triangle ABC$ высоту $BD$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Она разделит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.
Найдем углы этих треугольников:

• В $\triangle ABD$: $\angle A = 80^\circ$, $\angle BDA = 90^\circ$. Следовательно, $\angle ABD = 180^\circ - 90^\circ - 80^\circ = 10^\circ$. Углы этого треугольника: $10^\circ, 80^\circ, 90^\circ$.
• В $\triangle CBD$: $\angle C = 40^\circ$, $\angle CDB = 90^\circ$. Следовательно, $\angle CBD = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$. Углы этого треугольника: $40^\circ, 50^\circ, 90^\circ$.

2. Разрежем второй треугольник $\triangle A'B'C'$.
Проведем в $\triangle A'B'C'$ высоту $C'E'$ из вершины $C'$ к стороне $A'B'$. Она разделит треугольник $A'B'C'$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle A'C'E'$ и $\triangle B'C'E'$.
Найдем углы этих треугольников:

• В $\triangle A'C'E'$: $\angle A' = 80^\circ$, $\angle C'E'A' = 90^\circ$. Следовательно, $\angle A'C'E' = 180^\circ - 90^\circ - 80^\circ = 10^\circ$. Углы этого треугольника: $10^\circ, 80^\circ, 90^\circ$.
• В $\triangle B'C'E'$: $\angle B' = 60^\circ$, $\angle C'E'B' = 90^\circ$. Следовательно, $\angle B'C'E' = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Углы этого треугольника: $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$.

3. Сравним полученные части.
В результате разрезания мы получили четыре треугольника:

• Части $\triangle ABC$: $\triangle ABD$ с углами ($10^\circ, 80^\circ, 90^\circ$) и $\triangle CBD$ с углами ($40^\circ, 50^\circ, 90^\circ$).
• Части $\triangle A'B'C'$: $\triangle A'C'E'$ с углами ($10^\circ, 80^\circ, 90^\circ$) и $\triangle B'C'E'$ с углами ($30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$).

Одна из частей первого треугольника ($\triangle ABD$) подобна одной из частей второго треугольника ($\triangle A'C'E'$), так как у них равны соответствующие углы ($10^\circ, 80^\circ, 90^\circ$). Таким образом, условие задачи выполнено.

Теперь сравним оставшиеся части: $\triangle CBD$ и $\triangle B'C'E'$.

• Углы $\triangle CBD$ равны $40^\circ, 50^\circ, 90^\circ$.
• Углы $\triangle B'C'E'$ равны $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$.

Наборы углов этих треугольников не совпадают, следовательно, они не являются подобными.

Мы привели пример, в котором условие задачи выполняется, а заключение (подобие оставшихся частей) — нет. Это означает, что утверждение в задаче неверно.

Ответ: нет, не верно.

Условие 2015-2022.

696. Каждый из двух подобных треугольников разрезали на два треугольника так, что одна из получившихся частей одного треугольника подобна одной из частей другого треугольника. Верно ли, что оставшиеся части также подобны?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).