Номер 700, страница 153 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Площадь параллелограмма. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 700, страница 153.

Условие 2023.

700. Площадь параллелограмма ABCD (рис. 231) равна S. Чему равна площадь закрашенной фигуры?

Рис. 231

а

$\frac{S}{4}$

б

$\frac{S}{9}$

в

$\frac{S}{2}$

г

$\frac{S}{2}$

д

$\frac{S}{2}$

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

а) В данном случае параллелограмм $ABCD$ разделен отрезками, соединяющими середины противоположных сторон. Эти отрезки делят параллелограмм на 4 равных по площади меньших параллелограмма. Закрашенная фигура является одним из этих четырёх параллелограммов. Следовательно, её площадь составляет одну четвертую от площади исходного параллелограмма.
$S_{закрашенной} = \frac{S_{ABCD}}{4} = \frac{S}{4}$.
Ответ: $\frac{S}{4}$.

б) Параллелограмм $ABCD$ разделен на сетку из $3 \times 2 = 6$ одинаковых малых параллелограммов. Это следует из того, что сторона $AD$ разделена на 3 равные части, а смежная с ней сторона $AB$ — на 2 равные части. Так как все малые параллелограммы равны, их площади также равны. Закрашенная фигура — это один из этих 6 параллелограммов.
$S_{закрашенной} = \frac{S_{ABCD}}{6} = \frac{S}{6}$.
Ответ: $\frac{S}{6}$.

в) Штрихи на сторонах указывают на равенство отрезков: $AB=CD$ (один штрих) и $BC=AD$ (два штриха), что является свойством любого параллелограмма. Закрашенная фигура — это параллелограмм, образованный соединением вершин $A$ и $C$ с серединами противолежащих сторон $BC$ и $AD$ соответственно. Обозначим середину $AD$ как $K$, а середину $BC$ как $M$. Тогда закрашенная фигура — это параллелограмм $AKCM$.
Основание этого параллелограмма $AK$ равно половине основания $AD$ исходного параллелограмма: $AK = \frac{1}{2} AD$.
Высота параллелограмма $AKCM$, проведенная из вершины $M$ к основанию $AK$, равна высоте всего параллелограмма $ABCD$, проведенной к основанию $AD$, так как $M$ лежит на прямой $BC$, параллельной $AD$. Обозначим эту высоту как $h$.
Площадь исходного параллелограмма: $S = AD \cdot h$.
Площадь закрашенного параллелограмма: $S_{AKCM} = AK \cdot h = \frac{1}{2} AD \cdot h = \frac{1}{2} S$.
Ответ: $\frac{S}{2}$.

г) Закрашенная фигура — это параллелограмм, вершины которого являются серединами сторон параллелограмма $ABCD$. Такой параллелограмм называется параллелограммом Вариньона. Площадь параллелограмма Вариньона всегда равна половине площади исходного четырехугольника.
Докажем это. Площадь $S$ параллелограмма $ABCD$ можно представить как сумму площади внутреннего закрашенного параллелограмма и площадей четырех треугольников по углам. Пусть $K, L, M, N$ — середины сторон $AB, BC, CD, AD$ соответственно. Площадь треугольника $\triangle AKN$ равна $S_{\triangle AKN} = \frac{1}{2} AK \cdot AN \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{2} (\frac{AB}{2}) \cdot (\frac{AD}{2}) \sin(\angle A) = \frac{1}{8} (AB \cdot AD \sin(\angle A)) = \frac{1}{8}S$.
Площади остальных трех угловых треугольников также равны $\frac{1}{8}S$. Сумма их площадей равна $4 \cdot \frac{S}{8} = \frac{S}{2}$.
Тогда площадь закрашенного параллелограмма равна $S_{KLMN} = S_{ABCD} - S_{треугольников} = S - \frac{S}{2} = \frac{S}{2}$.
Ответ: $\frac{S}{2}$.

д) Закрашенная фигура — это треугольник $\triangle ADM$, где $M$ — середина стороны $BC$.
Основание этого треугольника — сторона $AD$.
Высота треугольника, проведенная из вершины $M$ к основанию $AD$, равна высоте параллелограмма $ABCD$, проведенной к тому же основанию, так как прямая $BC$ (на которой лежит точка $M$) параллельна прямой $AD$. Обозначим эту высоту как $h$.
Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $S = AD \cdot h$.
Площадь треугольника $\triangle ADM$ вычисляется по формуле $S_{\triangle ADM} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} AD \cdot h$.
Сравнивая выражения для площадей, получаем: $S_{\triangle ADM} = \frac{1}{2} S$.
Ответ: $\frac{S}{2}$.

Условие 2015-2022.

700. Площадь параллелограмма $ABCD$ (рис. 219) равна $S$. Чему равна площадь закрашенной фигуры?

Рис. 219

Проведем высоту $CN$. Легко ка

Площадь па D елогра

и трапеции $ABCD$. Площадь пра

а

б

в

ки $ABM$ и $DC$ равны как

и $AB$ и $CD$ и $2$ равны

г

д

Значит эти треуго

Значит, $A$ следует

как со

параллело

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).