Номер 707, страница 154 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Площадь параллелограмма. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 707, страница 154.

Условие 2023.

707. Диагональ параллелограмма, равная 18 см, перпендикулярна одной из его сторон и образует угол $30^\circ$ со второй стороной. Найдите площадь параллелограмма.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Пусть его диагональ $AC = 18$ см. По условию, эта диагональ перпендикулярна одной из его сторон и образует угол $30^\circ$ со второй стороной.

Возможны два случая, которые, как мы увидим, приводят к одному и тому же результату. Рассмотрим один из них.

Пусть диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$, то есть $\angle ACD = 90^\circ$. И пусть $AC$ образует угол $30^\circ$ со стороной $AD$, то есть $\angle CAD = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Он является прямоугольным, так как $\angle ACD = 90^\circ$. Стороны параллелограмма $CD$ и $AD$ являются катетом и гипотенузой этого треугольника соответственно.

Найдем длины сторон параллелограмма $CD$ и $AD$, используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике $\triangle ACD$:

• Найдем катет $CD$, который является одной из сторон параллелограмма: $CD = AC \cdot \tan(\angle CAD) = 18 \cdot \tan(30^\circ) = 18 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$ см.
• Найдем гипотенузу $AD$, которая является второй стороной параллелограмма: $AD = \frac{AC}{\cos(\angle CAD)} = \frac{18}{\cos(30^\circ)} = \frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{18 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь параллелограмма. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне ($S = a \cdot h_a$).

В нашем случае, если мы выберем сторону $CD$ в качестве основания, то высота, проведенная к ней, будет равна длине диагонали $AC$, так как по нашему предположению $AC \perp CD$.

Основание $a = CD = 6\sqrt{3}$ см.
Высота $h_a = AC = 18$ см.

Площадь параллелограмма $S_{ABCD}$ равна:$S = CD \cdot AC = 6\sqrt{3} \cdot 18 = 108\sqrt{3}$ см$^2$.

Также можно использовать формулу площади через произведение смежных сторон и синус угла между ними ($S = ab\sin\alpha$). Угол между сторонами $CD$ и $AD$ это $\angle ADC$. В прямоугольном $\triangle ACD$ сумма острых углов равна $90^\circ$, значит $\angle ADC = 90^\circ - \angle CAD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

$S = AD \cdot CD \cdot \sin(\angle ADC) = (12\sqrt{3}) \cdot (6\sqrt{3}) \cdot \sin(60^\circ) = 72 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 216 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 108\sqrt{3}$ см$^2$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $108\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Условие 2015-2022.

707. Диагональ параллелограмма, равная 18 см, перпендикулярна одной из его сторон и образует угол $30^\circ$ со второй стороной. Найдите площадь параллелограмма.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).