Номер 704, страница 154 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Площадь параллелограмма. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 704, страница 154.

Условие 2023.

704. Стороны параллелограмма равны 10 см и 15 см, а одна из высот равна:
1) 6 см;
2) 12 см. Найдите вторую высоту параллелограмма. Сколько решений в каждом случае имеет задача?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть стороны параллелограмма равны $a = 10$ см и $b = 15$ см. Пусть $h_a$ — высота, проведенная к стороне $a$, а $h_b$ — высота, проведенная к стороне $b$. Площадь параллелограмма $S$ можно вычислить двумя способами: $S = a \cdot h_a$ и $S = b \cdot h_b$. Отсюда следует равенство для высот:$a \cdot h_a = b \cdot h_b$.

Также необходимо учитывать важное геометрическое ограничение: высота, проведенная к одной стороне, не может быть длиннее другой (смежной) стороны. Это следует из того, что в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, смежной стороной (которая является гипотенузой) и частью стороны, к которой проведена высота, катет (высота) не может быть длиннее гипотенузы. Таким образом, должны выполняться неравенства: $h_a \le b$ и $h_b \le a$.

1) Дана высота, равная 6 см.

Поскольку данная высота 6 см меньше обеих сторон ($6 \text{ см} < 10 \text{ см}$ и $6 \text{ см} < 15 \text{ см}$), она может быть проведена к любой из двух сторон. Рассмотрим оба случая.

Случай А: Данная высота $h_a = 6$ см проведена к стороне $a = 10$ см.
Проверим ограничение: $h_a \le b \implies 6 \le 15$. Неравенство верно, такой параллелограмм существует.
Найдем вторую высоту $h_b$ из формулы площади:
$10 \cdot 6 = 15 \cdot h_b$
$60 = 15 \cdot h_b$
$h_b = \frac{60}{15} = 4$ см.
Это является возможным решением.

Случай Б: Данная высота $h_b = 6$ см проведена к стороне $b = 15$ см.
Проверим ограничение: $h_b \le a \implies 6 \le 10$. Неравенство верно, такой параллелограмм также существует.
Найдем вторую высоту $h_a$ из формулы площади:
$10 \cdot h_a = 15 \cdot 6$
$10 \cdot h_a = 90$
$h_a = \frac{90}{10} = 9$ см.
Это также является возможным решением.

Таким образом, в данном случае задача имеет два решения.

Ответ: вторая высота может быть 4 см или 9 см; задача имеет 2 решения.

2) Дана высота, равная 12 см.

Рассмотрим, к какой из сторон может быть проведена высота 12 см, используя те же ограничения.

Случай А: Данная высота $h_a = 12$ см проведена к стороне $a = 10$ см.
Проверим ограничение: $h_a \le b \implies 12 \le 15$. Неравенство верно.
Найдем вторую высоту $h_b$:
$10 \cdot 12 = 15 \cdot h_b$
$120 = 15 \cdot h_b$
$h_b = \frac{120}{15} = 8$ см.
Это возможное решение.

Случай Б: Данная высота $h_b = 12$ см проведена к стороне $b = 15$ см.
Проверим ограничение: $h_b \le a \implies 12 \le 10$. Неравенство неверно.
Высота, проведенная к стороне $b=15$ см, не может быть длиннее смежной стороны $a=10$ см. Следовательно, такой случай невозможен.

Таким образом, в данном случае задача имеет только одно решение.

Ответ: вторая высота равна 8 см; задача имеет 1 решение.

Условие 2015-2022.

704. Стороны параллелограмма равны 10 см и 15 см, а одна из высот равна:

1) 6 см;

2) 12 см.

Найдите вторую высоту параллелограмма. Сколько решений в каждом случае имеет задача?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).