Номер 709, страница 154 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Площадь параллелограмма. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 709, страница 154.

Условие 2023.

709. Угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла, равен $60^\circ$. Найдите площадь параллелограмма, если его высоты равны 8 см и 12 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, в котором из вершины тупого угла $B$ проведены высоты $BE$ и $BF$ к сторонам $AD$ и $CD$ соответственно. По условию, высоты равны 8 см и 12 см, а угол между ними, $\angle EBF$, равен $60^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $BFDE$. Сумма его внутренних углов равна $360^\circ$. В этом четырехугольнике нам известны три угла: $\angle BED = 90^\circ$ (так как $BE$ — высота), $\angle BFD = 90^\circ$ (так как $BF$ — высота) и $\angle EBF = 60^\circ$ (по условию). Мы можем найти четвертый угол, $\angle D$, который является одним из углов параллелограмма:$\angle D = 360^\circ - \angle BED - \angle BFD - \angle EBF = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Таким образом, тупой угол параллелограмма равен $120^\circ$. Смежный с ним острый угол $\alpha$ будет равен:$\alpha = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Площадь параллелограмма $S$ можно вычислить по формуле $S = \frac{h_1 \cdot h_2}{\sin\alpha}$, где $h_1$ и $h_2$ — высоты, а $\alpha$ — острый угол параллелограмма. Выведем эту формулу.Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Высота, опущенная на сторону $a$, равна $h_a$, а на сторону $b$ — $h_b$. Из прямоугольных треугольников, образованных высотами, можно установить следующие соотношения: $h_a = b \cdot \sin\alpha$ и $h_b = a \cdot \sin\alpha$.Отсюда $b = \frac{h_a}{\sin\alpha}$ и $a = \frac{h_b}{\sin\alpha}$.Подставим эти выражения для сторон в формулу площади $S = a \cdot b \cdot \sin\alpha$:$S = \left(\frac{h_b}{\sin\alpha}\right) \cdot \left(\frac{h_a}{\sin\alpha}\right) \cdot \sin\alpha = \frac{h_a \cdot h_b}{\sin\alpha}$.

Теперь подставим в полученную формулу значения из условия задачи: $h_1 = 8$ см, $h_2 = 12$ см, $\alpha = 60^\circ$.$S = \frac{8 \cdot 12}{\sin 60^\circ} = \frac{96}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{96 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{192}{\sqrt{3}}$.Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:$S = \frac{192 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{192\sqrt{3}}{3} = 64\sqrt{3}$.

Ответ: $64\sqrt{3}$ см$^2$.

Условие 2015-2022.

709. Угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла, равен $60^\circ$. Найдите площадь параллелограмма, если его высоты равны 8 см и 12 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).