Номер 706, страница 154 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Площадь параллелограмма. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 706, страница 154.

Условие 2023.

706. Найдите площадь параллелограмма, диагонали которого равны 26 см и 24 см, а одна из них перпендикулярна стороне параллелограмма.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а диагонали $d_1 = 26$ см и $d_2 = 24$ см. Для любого параллелограмма справедливо соотношение, связывающее длины его сторон и диагоналей:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

Подставим заданные значения длин диагоналей в эту формулу:

$26^2 + 24^2 = 2(a^2 + b^2)$

$676 + 576 = 2(a^2 + b^2)$

$1252 = 2(a^2 + b^2)$

$a^2 + b^2 = 626$

По условию, одна из диагоналей перпендикулярна стороне. Проверим, какая из них. Если предположить, что большая диагональ $d_1 = 26$ перпендикулярна одной из сторон (пусть это будет сторона $a$), то они вместе с другой стороной $b$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $a$ и $d_1$ являются катетами, а $b$ — гипотенузой. По теореме Пифагора, $b^2 = a^2 + d_1^2 = a^2 + 26^2 = a^2 + 676$. Подставляя это в наше первое уравнение, получаем $a^2 + (a^2 + 676) = 626$, что приводит к $2a^2 = -50$. Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат длины не может быть отрицательным. Следовательно, наше предположение неверно.

Значит, перпендикулярной стороне может быть только меньшая диагональ $d_2 = 24$ см. Пусть она перпендикулярна стороне $a$. В этом случае сторона $a$ и диагональ $d_2$ являются катетами, а сторона $b$ — гипотенузой прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора:

$b^2 = a^2 + d_2^2 = a^2 + 24^2 = a^2 + 576$

Теперь подставим это выражение для $b^2$ в соотношение $a^2 + b^2 = 626$:

$a^2 + (a^2 + 576) = 626$

$2a^2 = 626 - 576$

$2a^2 = 50$

$a^2 = 25$

$a = 5$ см

Таким образом, мы нашли длину одной из сторон. Площадь параллелограмма можно вычислить как произведение основания на высоту. Если мы выберем сторону $a$ в качестве основания, то высота, проведенная к ней, будет равна длине диагонали $d_2$, так как по условию они перпендикулярны.

$S = a \cdot d_2 = 5 \text{ см} \cdot 24 \text{ см} = 120 \text{ см}^2$

Ответ: $120 \text{ см}^2$.

Условие 2015-2022.

706. Найдите площадь параллелограмма, диагонали которого равны 26 см и 24 см, а одна из них перпендикулярна стороне параллелограмма.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).