Номер 712, страница 154 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Площадь параллелограмма. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 712, страница 154.

Условие 2023.

712. Меньшая диагональ ромба равна $a$, а один из углов – $60^\circ$. Найдите площадь ромба.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан ромб. По условию, один из его углов равен $60^\circ$. Так как сумма смежных углов ромба составляет $180^\circ$, другой его угол будет равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Меньшая диагональ в ромбе всегда лежит напротив острого угла, а большая — напротив тупого. Однако, в задаче речь идет о треугольнике, который образует диагональ с двумя сторонами ромба. Меньшая диагональ, равная $a$, соединяет вершины тупых углов ($120^\circ$), тем самым образуя с двумя сторонами ромба треугольник с углом $60^\circ$ между ними.

Рассмотрим этот треугольник. Он является равнобедренным, так как две его стороны — это стороны ромба. Угол между этими равными сторонами равен $60^\circ$. Равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ при вершине является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны, а значит, сторона ромба также равна меньшей диагонали $a$.

Площадь ромба можно вычислить по формуле:$S = s^2 \cdot \sin(\alpha)$, где $s$ — сторона ромба, а $\alpha$ — угол между сторонами.

Подставим в формулу известные нам значения: $s = a$ и $\alpha = 60^\circ$.$S = a^2 \cdot \sin(60^\circ)$

Зная, что значение $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:$S = a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

Также, эту задачу можно решить через диагонали. Мы уже знаем, что меньшая диагональ $d_1 = a$. Ромб с углом $60^\circ$ состоит из двух равносторонних треугольников со стороной $a$. Большая диагональ $d_2$ будет равна двум высотам такого треугольника. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Тогда большая диагональ $d_2 = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$.Площадь ромба через диагонали:$S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a\sqrt{3}) = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

Условие 2015-2022.

712. Меньшая диагональ ромба равна $a$, а один из углов – $60^\circ$. Найдите площадь ромба.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).