Номер 717, страница 155 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Площадь параллелограмма. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 717, страница 155.

Условие 2023.

717. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $AC = 7$ см, $BC = 24$ см, отрезок $AM$ – биссектриса. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс каждого из углов $BAC$ и $AMC$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Дано: треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$, катет $AC=7$ см, катет $BC=24$ см. Отрезок $AM$ является биссектрисой угла $BAC$, точка $M$ лежит на стороне $BC$.

Для угла BAC:

Угол $BAC$ — это один из острых углов в прямоугольном треугольнике $ABC$. Чтобы найти его тригонометрические функции, сначала вычислим длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$AB^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$

$AB = \sqrt{625} = 25$ см.

Теперь определим тригонометрические функции угла $BAC$:

Синус (отношение противолежащего катета к гипотенузе):
$\sin(\angle BAC) = \frac{BC}{AB} = \frac{24}{25}$

Косинус (отношение прилежащего катета к гипотенузе):
$\cos(\angle BAC) = \frac{AC}{AB} = \frac{7}{25}$

Тангенс (отношение противолежащего катета к прилежащему):
$\tan(\angle BAC) = \frac{BC}{AC} = \frac{24}{7}$

Котангенс (отношение прилежащего катета к противолежащему):
$\cot(\angle BAC) = \frac{AC}{BC} = \frac{7}{24}$

Ответ: $\sin(\angle BAC) = \frac{24}{25}$, $\cos(\angle BAC) = \frac{7}{25}$, $\tan(\angle BAC) = \frac{24}{7}$, $\cot(\angle BAC) = \frac{7}{24}$.

Для угла AMC:

Угол $AMC$ является углом в треугольнике $AMC$. Так как $\angle C = 90^\circ$, то треугольник $AMC$ — прямоугольный. Для нахождения тригонометрических функций угла $AMC$ нам нужно знать длины сторон этого треугольника: $AC$, $CM$ и $AM$.

1. Найдем длину катета $CM$. Поскольку $AM$ — биссектриса угла $BAC$, по свойству биссектрисы треугольника она делит сторону $BC$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам $AC$ и $AB$:

$\frac{CM}{MB} = \frac{AC}{AB}$

Мы знаем, что $AC = 7$, $AB = 25$ и $BC = CM + MB = 24$. Из последнего равенства выразим $MB = 24 - CM$. Подставим все известные значения в пропорцию:

$\frac{CM}{24 - CM} = \frac{7}{25}$

Решим это уравнение:

$25 \cdot CM = 7 \cdot (24 - CM)$

$25 \cdot CM = 168 - 7 \cdot CM$

$32 \cdot CM = 168$

$CM = \frac{168}{32} = \frac{21}{4}$ см.

2. Теперь, зная оба катета треугольника $AMC$ ($AC = 7$ и $CM = \frac{21}{4}$), найдем гипотенузу $AM$ по теореме Пифагора:

$AM^2 = AC^2 + CM^2 = 7^2 + (\frac{21}{4})^2 = 49 + \frac{441}{16} = \frac{784}{16} + \frac{441}{16} = \frac{1225}{16}$

$AM = \sqrt{\frac{1225}{16}} = \frac{35}{4}$ см.

3. Теперь мы знаем все стороны прямоугольного треугольника $AMC$ и можем найти тригонометрические функции угла $AMC$:

Синус (отношение противолежащего катета $AC$ к гипотенузе $AM$):
$\sin(\angle AMC) = \frac{AC}{AM} = \frac{7}{35/4} = \frac{7 \cdot 4}{35} = \frac{28}{35} = \frac{4}{5}$

Косинус (отношение прилежащего катета $CM$ к гипотенузе $AM$):
$\cos(\angle AMC) = \frac{CM}{AM} = \frac{21/4}{35/4} = \frac{21}{35} = \frac{3}{5}$

Тангенс (отношение противолежащего катета $AC$ к прилежащему $CM$):
$\tan(\angle AMC) = \frac{AC}{CM} = \frac{7}{21/4} = \frac{7 \cdot 4}{21} = \frac{28}{21} = \frac{4}{3}$

Котангенс (отношение прилежащего катета $CM$ к противолежащему $AC$):
$\cot(\angle AMC) = \frac{CM}{AC} = \frac{21/4}{7} = \frac{21}{4 \cdot 7} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\sin(\angle AMC) = \frac{4}{5}$, $\cos(\angle AMC) = \frac{3}{5}$, $\tan(\angle AMC) = \frac{4}{3}$, $\cot(\angle AMC) = \frac{3}{4}$.

Условие 2015-2022.

717. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $AC = 7$ см, $BC = 24$ см, $AM$ – биссектриса. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс каждого из углов $BAC$ и $AMC$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).