Номер 718, страница 155 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Площадь параллелограмма. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 718, страница 155.

Условие 2023.

718. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медианы $AM$ и $CK$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что треугольник $AOC$ – равнобедренный, и найдите его боковые стороны, если $AM = 21$ см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Докажите, что треугольник AOC — равнобедренный
Рассмотрим треугольники $AKC$ и $CMA$.
По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. Это означает, что его боковые стороны равны ($AB = BC$) и углы при основании также равны ($\angle BAC = \angle BCA$).
$AM$ и $CK$ — медианы, проведенные к боковым сторонам. По определению медианы, точка $K$ является серединой стороны $AB$, а точка $M$ — серединой стороны $BC$. Отсюда следует, что $AK = \frac{1}{2}AB$ и $CM = \frac{1}{2}BC$. Поскольку $AB = BC$, то и их половины равны, то есть $AK = CM$.
Теперь сравним треугольники $AKC$ и $CMA$. В них:
1) $AC$ — общая сторона.
2) $AK = CM$ (как было доказано выше).
3) $\angle KAC = \angle MCA$ (так как это углы при основании равнобедренного треугольника $ABC$).
Следовательно, $\triangle AKC \cong \triangle CMA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих элементов. В частности, равны углы: $\angle ACK = \angle CAM$.
В треугольнике $AOC$ углы при основании $AC$ — это $\angle OAC$ и $\angle OCA$. Эти углы являются частями углов $\angle CAM$ и $\angle ACK$ соответственно, то есть $\angle OAC = \angle CAM$ и $\angle OCA = \angle ACK$.
Поскольку мы доказали, что $\angle CAM = \angle ACK$, то и $\angle OAC = \angle OCA$.
Так как в треугольнике $AOC$ два угла равны, он является равнобедренным с основанием $AC$.
Ответ: доказано, что треугольник $AOC$ является равнобедренным.

найдите его боковые стороны, если AM = 21 см
Точка $O$ является точкой пересечения медиан $AM$ и $CK$ треугольника $ABC$.
По свойству медиан треугольника, они пересекаются в одной точке (центроиде) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.
Для медианы $AM$, проведенной из вершины $A$, это свойство записывается как соотношение $AO : OM = 2:1$.
Это означает, что длина отрезка $AO$ составляет $\frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$ от всей длины медианы $AM$.
По условию задачи, длина медианы $AM = 21$ см.
Теперь мы можем вычислить длину стороны $AO$ треугольника $AOC$:
$AO = \frac{2}{3} \cdot AM = \frac{2}{3} \cdot 21 = 2 \cdot 7 = 14$ см.
Из первой части решения мы знаем, что треугольник $AOC$ — равнобедренный, и его боковые стороны $AO$ и $CO$ равны.
Следовательно, $CO = AO = 14$ см.
Ответ: боковые стороны треугольника $AOC$ равны 14 см.

Условие 2015-2022.

718. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медианы $AM$ и $CK$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что треугольник $AOC$ – равнобедренный, и найдите его боковые стороны, если $AM = 21$ см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).