Номер 719, страница 155 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Площадь параллелограмма. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 719, страница 155.

Условие 2023.

719. На медиане $AM$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$ так, что $AD : DM = 1 : 3$. Через точку $D$ проведена прямая, параллельная стороне $AC$. В каком отношении эта прямая делит сторону $BC$, считая от вершины $C$?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть в треугольнике $ABC$ отрезок $AM$ является медианой, что означает, что точка $M$ — середина стороны $BC$, и, следовательно, $BM = MC$. На медиане $AM$ выбрана точка $D$ таким образом, что выполняется соотношение $AD : DM = 1 : 3$. Через точку $D$ проведена прямая, параллельная стороне $AC$. Обозначим точку пересечения этой прямой со стороной $BC$ как $K$. Нам нужно определить отношение, в котором точка $K$ делит сторону $BC$, а именно, найти отношение $CK : KB$.

Для решения задачи применим метод дополнительного построения. Проведем через точку $M$ прямую, параллельную $AC$, до пересечения со стороной $AB$ в точке $E$. Отрезок $ME$ является средней линией треугольника $ABC$, поскольку он проходит через середину стороны $BC$ ($M$) и параллелен стороне $AC$.

По свойству средней линии, точка $E$ является серединой стороны $AB$, то есть $AE = EB = \frac{1}{2}AB$. Также $ME \parallel AC$.

Пусть прямая, проходящая через точку $D$ параллельно $AC$, пересекает сторону $AB$ в точке $P$. Тогда вся прямая $PK$ параллельна $AC$. Поскольку и $ME \parallel AC$, и $PK \parallel AC$, то прямые $ME$ и $PK$ параллельны между собой ($ME \parallel PK$).

Теперь рассмотрим треугольник $AME$. Внутри него находится отрезок $PD$, который является частью прямой $PK$. Так как $PK \parallel ME$, то и $PD \parallel ME$. По теореме о пропорциональных отрезках (теореме Фалеса), прямая $PD$, параллельная стороне $ME$, отсекает на сторонах $AM$ и $AE$ пропорциональные отрезки:$$ \frac{AP}{AE} = \frac{AD}{AM} $$

Из условия задачи известно, что $AD : DM = 1 : 3$. Если принять длину отрезка $AD$ за $x$, то длина $DM$ будет $3x$. Тогда вся медиана $AM$ равна $AD + DM = x + 3x = 4x$. Найдем отношение $AD$ к $AM$:$$ \frac{AD}{AM} = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4} $$Следовательно,$$ \frac{AP}{AE} = \frac{1}{4} $$

Так как $E$ — середина $AB$, то $AE = \frac{1}{2}AB$. Выразим $AP$ через $AB$:$$ AP = \frac{1}{4} AE = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} AB \right) = \frac{1}{8} AB $$Найдем длину отрезка $PB$:$$ PB = AB - AP = AB - \frac{1}{8} AB = \frac{7}{8} AB $$Таким образом, отношение $\frac{PB}{AB} = \frac{7}{8}$.

Наконец, вернемся к исходному треугольнику $ABC$ и прямой $PK$, параллельной $AC$. По теореме о пропорциональных отрезках для треугольника $ABC$ и прямой $PK$:$$ \frac{BK}{BC} = \frac{BP}{AB} $$Подставим найденное отношение:$$ \frac{BK}{BC} = \frac{7}{8} $$Отсюда $BK = \frac{7}{8} BC$.Тогда длина отрезка $CK$ равна:$$ CK = BC - BK = BC - \frac{7}{8} BC = \frac{1}{8} BC $$

Искомое отношение $CK$ к $KB$ равно:$$ \frac{CK}{KB} = \frac{\frac{1}{8} BC}{\frac{7}{8} BC} = \frac{1}{7} $$Это означает, что $CK : KB = 1 : 7$.

Ответ: $1:7$.

Условие 2015-2022.

719. На медиане $AM$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$ так, что $AD : DM = 1 : 3$. Через точку $D$ проведена прямая, параллельная стороне $AC$. В каком отношении эта прямая делит сторону $BC$, считая от вершины $C$?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).