Номер 716, страница 155 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Площадь параллелограмма. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 716, страница 155.

Условие 2023.

716. Докажите, что из всех параллелограммов со сторонами, равными $a$ и $b$, наибольшую площадь имеет прямоугольник.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Площадь параллелограмма со смежными сторонами $a$ и $b$ и углом $\alpha$ между ними вычисляется по формуле:

$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

В данном семействе параллелограммов длины сторон $a$ и $b$ являются фиксированными величинами. Следовательно, площадь $S$ является функцией только угла $\alpha$, который может изменяться в пределах $0^\circ < \alpha < 180^\circ$.

Чтобы найти максимальное значение площади, необходимо найти максимальное значение функции $S(\alpha) = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$. Поскольку $a$ и $b$ — положительные константы, площадь $S$ достигает своего максимума тогда, когда функция $\sin(\alpha)$ достигает своего максимума.

Максимальное значение функции синус равно 1, и оно достигается при $\alpha = 90^\circ$.

При $\alpha = 90^\circ$ параллелограмм является прямоугольником. Его площадь будет равна:

$S_{прямоугольника} = a \cdot b \cdot \sin(90^\circ) = a \cdot b \cdot 1 = a \cdot b$

Для любого другого параллелограмма (не прямоугольника) с теми же сторонами угол $\alpha$ будет отличен от $90^\circ$, и, следовательно, $\sin(\alpha) < 1$. Площадь такого параллелограмма будет:

$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) < a \cdot b$

Таким образом, мы доказали, что прямоугольник имеет наибольшую площадь среди всех параллелограммов с заданными длинами сторон.

Ответ: Утверждение доказано. Максимальная площадь достигается, когда угол между сторонами равен $90^\circ$, то есть когда параллелограмм является прямоугольником. Эта площадь равна $a \cdot b$.

Условие 2015-2022.

716. Докажите, что из всех параллелограммов со сторонами, равными $a$ и $b$, наибольшую площадь имеет прямоугольник.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).