Номер 711, страница 154 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Площадь параллелограмма. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 711, страница 154.

Условие 2023.

711. Найдите площадь ромба, если его высота равна 6 см, а большая диагональ – 10 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть `a` — сторона ромба, `h` — его высота, `d_1` и `d_2` — его диагонали.По условию задачи, высота `h = 6` см, а большая диагональ `d_1 = 10` см.

Площадь ромба можно вычислить по двум формулам:1. Через сторону и высоту: $S = a \cdot h$.2. Через диагонали: $S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2$.

Подставим в эти формулы известные значения:$S = a \cdot 6 = 6a$$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot d_2 = 5d_2$

Так как левые части уравнений равны, можем приравнять и правые, чтобы установить связь между стороной `a` и меньшей диагональю `d_2`:$6a = 5d_2$Отсюда выразим `d_2`:$d_2 = \frac{6a}{5}$

Важным свойством ромба является то, что его диагонали взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что сторона ромба является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат половины диагоналей. По теореме Пифагора:$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$

Подставим в это уравнение известные значения $d_1 = 10$ и выражение для $d_2$:$a^2 = (\frac{10}{2})^2 + (\frac{6a/5}{2})^2$$a^2 = 5^2 + (\frac{6a}{10})^2$$a^2 = 25 + (\frac{3a}{5})^2$$a^2 = 25 + \frac{9a^2}{25}$

Решим полученное уравнение, чтобы найти сторону `a`:$a^2 - \frac{9a^2}{25} = 25$$\frac{25a^2 - 9a^2}{25} = 25$$\frac{16a^2}{25} = 25$$16a^2 = 25 \cdot 25$$16a^2 = 625$$a^2 = \frac{625}{16}$$a = \sqrt{\frac{625}{16}} = \frac{25}{4} = 6,25$ см.

Теперь, когда мы знаем длину стороны ромба, мы можем легко найти его площадь по формуле $S = a \cdot h$:$S = 6,25 \cdot 6 = \frac{25}{4} \cdot 6 = \frac{150}{4} = \frac{75}{2} = 37,5$ см$^2$.

Ответ: $37,5 \text{ см}^2$.

Условие 2015-2022.

711. Найдите площадь ромба, если его высота равна 6 см, а диагональ – 10 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).