Номер 710, страница 154 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Площадь параллелограмма. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 710, страница 154.

Условие 2023.

710. Стороны параллелограмма равны 14 см и 20 см, а угол между его высотами, проведёнными из вершины тупого угла, — $45^\circ$. Найдите площадь параллелограмма.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть стороны параллелограмма равны $a = 14$ см и $b = 20$ см. Пусть $\alpha$ — острый угол параллелограмма, а $\beta$ — тупой угол. Известно, что сумма смежных углов параллелограмма равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Рассмотрим высоты, проведенные из вершины тупого угла $\beta$. Обозначим параллелограмм как $ABCD$, где $\angle B = \angle D = \beta$ — тупые углы, а $\angle A = \angle C = \alpha$ — острые. Проведем из вершины $D$ высоты $DH_1$ к стороне $AB$ и $DH_2$ к стороне $BC$.

Рассмотрим четырехугольник $H_1BH_2D$. В этом четырехугольнике:

• $\angle DH_1B = 90^\circ$ (так как $DH_1$ — высота).
• $\angle DH_2B = 90^\circ$ (так как $DH_2$ — высота).
• $\angle H_1DH_2 = 45^\circ$ (по условию задачи, это угол между высотами).
• $\angle H_1BH_2$ — это угол четырехугольника при вершине $B$, который совпадает с углом параллелограмма $\angle B$. Однако, угол $\angle B$ является тупым углом $\beta$ параллелограмма. Углы $A$ и $B$ - смежные, значит $\angle B = \beta = 180^\circ - \alpha$. Но угол, который мы рассматриваем в четырехугольнике $H_1BH_2D$, это $\angle B$, который является острым углом параллелограмма. Давайте рассмотрим другую конфигурацию.

Установим более общее свойство. Угол между высотами параллелограмма, проведенными из одной вершины, равен углу параллелограмма при соседней вершине. Таким образом, угол между высотами, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма.

Докажем это. Пусть из вершины тупого угла $B$ проведены высоты $BE$ и $BF$ к прямым, содержащим стороны $AD$ и $CD$ соответственно. Рассмотрим четырехугольник $BEDF$. Сумма его углов равна $360^\circ$. Углы $\angle BED$ и $\angle BFD$ прямые, то есть по $90^\circ$. Угол $\angle D$ является тупым углом параллелограмма $\beta$. Угол $\angle EBF$ — это угол между высотами, по условию равный $45^\circ$. Тогда:

$\angle EBF + \angle BED + \angle D + \angle BFD = 360^\circ$

$45^\circ + 90^\circ + \angle D + 90^\circ = 360^\circ$

$\angle D + 225^\circ = 360^\circ$

$\angle D = 360^\circ - 225^\circ = 135^\circ$

Таким образом, тупой угол параллелограмма $\beta = 135^\circ$.

Острый угол параллелограмма $\alpha$ равен:

$\alpha = 180^\circ - \beta = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Теперь можем найти площадь параллелограмма по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin \alpha$, где $a$ и $b$ — смежные стороны, а $\alpha$ — угол между ними.

$S = 14 \cdot 20 \cdot \sin 45^\circ$

Поскольку $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$S = 280 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 140\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $140\sqrt{2}$ см$^2$.

Условие 2015-2022.

710. Стороны параллелограмма равны 14 см и 20 см, а угол между его высотами, проведёнными из вершины тупого угла, — $45^\circ$. Найдите площадь параллелограмма.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).