Номер 715, страница 154 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Площадь параллелограмма. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 715, страница 154.

Условие 2023.

715. Разность двух сторон параллелограмма равна 12 см, а проведённые к ним высоты равны 15 см и 10 см. Найдите площадь параллелограмма.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а высоты, проведенные к этим сторонам, равны $h_a$ и $h_b$ соответственно.

По условию задачи разность двух сторон равна 12 см. Предположим, что $a$ - большая сторона, а $b$ - меньшая. Тогда их разность можно записать как $a - b = 12$ см.

В параллелограмме к большей стороне проводится меньшая высота, а к меньшей стороне — большая. Так как мы предположили, что $a > b$, то соответствующая высота $h_a$ будет меньше, чем $h_b$. Из данных высот (15 см и 10 см) следует, что $h_a = 10$ см, а $h_b = 15$ см.

Площадь параллелограмма $S$ можно найти, умножив сторону на высоту, проведенную к этой стороне. Таким образом, площадь можно выразить двумя способами:
$S = a \cdot h_a = a \cdot 10$
$S = b \cdot h_b = b \cdot 15$

Поскольку оба выражения представляют площадь одного и того же параллелограмма, мы можем их приравнять, чтобы найти соотношение между сторонами:
$10a = 15b$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:
1) $a - b = 12$
2) $10a = 15b$

Из первого уравнения выразим $a$ через $b$:
$a = b + 12$

Подставим это выражение во второе уравнение и решим его относительно $b$:
$10(b + 12) = 15b$
$10b + 120 = 15b$
$15b - 10b = 120$
$5b = 120$
$b = \frac{120}{5} = 24$ см.

Теперь, зная значение $b$, найдем длину стороны $a$:
$a = 24 + 12 = 36$ см.

Наконец, вычислим площадь параллелограмма, используя любую из известных нам формул. Например, через сторону $a$ и высоту $h_a$:
$S = a \cdot h_a = 36 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 360 \text{ см}^2$.

Для проверки можно использовать вторую пару: $S = b \cdot h_b = 24 \text{ см} \cdot 15 \text{ см} = 360 \text{ см}^2$. Результаты совпадают.

Ответ: $360 \text{ см}^2$.

Условие 2015-2022.

715. Разность двух сторон параллелограмма равна 12 см, а проведённые к ним высоты равны 15 см и 10 см. Найдите площадь параллелограмма.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).