Номер 720, страница 155 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Площадь параллелограмма. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 720, страница 155.

Условие 2023.

720. Докажите, что в выпуклом девятиугольнике найдутся две диагонали, угол между которыми меньше $7^\circ$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Выпуклый девятиугольник имеет $n=9$ вершин. Число его диагоналей вычисляется по формуле:$D = \frac{n(n-3)}{2}$.

Подставив $n=9$, получаем:$D = \frac{9(9-3)}{2} = \frac{9 \cdot 6}{2} = 27$.

Таким образом, в выпуклом девятиугольнике 27 диагоналей. Каждой диагонали сопоставим ее направление, которое можно охарактеризовать углом $\alpha$ в диапазоне $[0, 180^\circ)$.

Если среди диагоналей есть хотя бы две параллельные, то угол между ними равен $0^\circ$. Так как $0^\circ < 7^\circ$, в этом случае утверждение доказано.

Если же все 27 диагоналей имеют попарно различные направления, то мы имеем 27 различных углов-направлений $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{27}$ в промежутке $[0, 180^\circ)$. Эти 27 направлений можно рассматривать как 27 точек на полуокружности. Они делят полуокружность (с общей угловой мерой $180^\circ$) на 27 дуг, сумма длин которых равна $180^\circ$.

Согласно принципу Дирихле, если сумма 27 положительных величин (длин дуг) равна $180^\circ$, то по крайней мере одна из этих величин не превышает их среднего арифметического:$\frac{180^\circ}{27} = \frac{20}{3}^\circ = 6\frac{2}{3}^\circ$.

Длина дуги между двумя направлениями соответствует разности углов, задающих эти направления. Следовательно, найдутся две диагонали, разность направлений которых, обозначим ее $\delta$, не превышает $6\frac{2}{3}^\circ$. То есть, $\delta \le 6\frac{2}{3}^\circ$.

Угол между двумя прямыми (диагоналями) определяется как наименьший из углов, которые они образуют. Он равен $\min(\delta, 180^\circ - \delta)$.Поскольку $\delta \le 6\frac{2}{3}^\circ < 90^\circ$, угол между диагоналями будет равен $\delta$.

Таким образом, мы доказали существование двух диагоналей, угол между которыми не превышает $6\frac{2}{3}^\circ$.

Так как $6\frac{2}{3}^\circ < 7^\circ$, то в любом выпуклом девятиугольнике найдутся две диагонали, угол между которыми меньше $7^\circ$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

720. Докажите, что в выпуклом девятиугольнике найдутся две диагонали, угол между которыми меньше $7^\circ$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).