Номер 684, страница 150 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 20. Понятие площади многоугольника. Площадь прямоугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 684, страница 150.

Условие 2023.

684. Площадь квадрата ABCD равна 10 $см^2$ (рис. 224). Чему равна площадь прямоугольника BMKD?

Рис. 224

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Решение:

Площадь квадрата можно выразить через его диагональ. Пусть $d$ — это длина диагонали квадрата $ABCD$. Тогда его площадь $S_{ABCD}$ равна:
$S_{ABCD} = \frac{1}{2}d^2$

В нашем случае диагональю является отрезок $BD$. Таким образом, площадь квадрата $ABCD$ равна $S_{ABCD} = \frac{1}{2}BD^2$.
По условию, $S_{ABCD} = 10$ см². Отсюда мы можем найти квадрат длины диагонали:
$10 = \frac{1}{2}BD^2$
$BD^2 = 2 \cdot 10 = 20$

Теперь рассмотрим прямоугольник $BMKD$. Из рисунка и названия видно, что $B$ и $D$ являются его противоположными вершинами, следовательно, $BD$ — это диагональ прямоугольника.

Площадь любого выпуклого четырехугольника (в том числе и прямоугольника) можно выразить через его диагонали $d_1$, $d_2$ и угол $\alpha$ между ними:
$S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\alpha$

В прямоугольнике диагонали равны. Пусть вторая диагональ будет $MK$. Тогда $MK = BD$.
Площадь прямоугольника $BMKD$ равна:
$S_{BMKD} = \frac{1}{2} BD \cdot MK \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} BD \cdot BD \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} BD^2 \sin\alpha$

Мы уже нашли, что $BD^2 = 20$. Подставим это значение в формулу площади прямоугольника:
$S_{BMKD} = \frac{1}{2} (20) \sin\alpha = 10 \sin\alpha$

Поскольку задача должна иметь единственное решение, значение угла $\alpha$ между диагоналями прямоугольника должно быть определено из условий. В задаче даны квадрат и прямоугольник, построенный на его диагонали. Наиболее естественное и симметричное расположение — когда вторая диагональ прямоугольника, $MK$, совпадает по направлению со второй диагональю квадрата, $AC$.

Диагонали квадрата ($AC$ и $BD$) перпендикулярны, то есть угол между ними равен $90^\circ$. Если диагональ $MK$ параллельна или лежит на той же прямой, что и $AC$, то угол $\alpha$ между диагоналями $BD$ и $MK$ также будет равен $90^\circ$.
В этом случае $\sin\alpha = \sin(90^\circ) = 1$.

Тогда площадь прямоугольника $BMKD$ равна:
$S_{BMKD} = 10 \cdot 1 = 10$ см²

Стоит отметить, что прямоугольник, у которого диагонали перпендикулярны, является квадратом. Таким образом, при данном предположении, прямоугольник $BMKD$ также является квадратом.

Ответ: 10 см².

Условие 2015-2022.

684. Площадь квадрата $ABCD$ равна $10$ см$^2$ (рис. 212). Чему равна площадь прямоугольника $BMKD$?

Рис. 212

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).