Номер 685, страница 150 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 20. Понятие площади многоугольника. Площадь прямоугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 685, страница 150.

Условие 2023.

685. Докажите, что если точка $E$ – середина отрезка $AK$ (рис. 225), то треугольник $AKD$ и прямоугольник $ABCD$ равновелики.

Рис. 225

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства того, что треугольник $AKD$ и прямоугольник $ABCD$ равновелики, необходимо показать равенство их площадей: $S_{\triangle AKD} = S_{ABCD}$.

Площадь прямоугольника $ABCD$ определяется произведением его смежных сторон:
$S_{ABCD} = AD \cdot AB$.

Площадь треугольника $AKD$ равна половине произведения его основания на высоту. Возьмем $AD$ за основание.
$S_{\triangle AKD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h$, где $h$ — высота, опущенная из вершины $K$ на прямую, содержащую сторону $AD$.

Проведем высоту $KH$ из точки $K$ к прямой $AD$ (точка $H$ лежит на прямой $AD$). Тогда высота треугольника $h = KH$.
Чтобы доказать равенство площадей, нужно показать, что $AD \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot KH$, что равносильно утверждению $KH = 2 \cdot AB$.

Проведем из точки $E$ перпендикуляр $EM$ к прямой $AD$ (точка $M$ лежит на прямой $AD$).
Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его стороны $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Точка $E$ лежит на отрезке $BC$, следовательно, расстояние от точки $E$ до прямой $AD$ равно высоте прямоугольника $AB$. Таким образом, $EM = AB$.

Рассмотрим $\triangle AKH$. Так как $KH \perp AD$ и $EM \perp AD$, то отрезки $EM$ и $KH$ параллельны ($EM \parallel KH$).
Треугольник $\triangle AEM$ подобен треугольнику $\triangle AKH$ по двум углам ($\angle KAH$ — общий, $\angle AME = \angle AHK = 90^\circ$).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно:
$\frac{EM}{KH} = \frac{AE}{AK}$

По условию задачи, $E$ — середина отрезка $AK$, поэтому $AE = \frac{1}{2} AK$, или $\frac{AE}{AK} = \frac{1}{2}$.

Подставляя это в отношение сторон подобных треугольников, получаем:
$\frac{EM}{KH} = \frac{1}{2}$
Отсюда следует, что $KH = 2 \cdot EM$.

Так как ранее мы установили, что $EM = AB$, то $KH = 2 \cdot AB$.

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника $AKD$:
$S_{\triangle AKD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot KH = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot (2 \cdot AB) = AD \cdot AB$.

Сравнивая площади, получаем:
$S_{\triangle AKD} = AD \cdot AB$
$S_{ABCD} = AD \cdot AB$
Следовательно, $S_{\triangle AKD} = S_{ABCD}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $AKD$ и прямоугольник $ABCD$ равновелики.

Условие 2015-2022.

685. Докажите, что если точка $E$ – середина отрезка $AK$ (рис. 213), то треугольник $AKD$ и прямоугольник $ABCD$ равновелики.

Рис. 212 Рис. 213

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).