Номер 32.17, страница 305 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 32. Статистические характеристики - номер 32.17, страница 305.

Условие.

32.17. Постройте ряд: 1) из пяти чисел; 2) из шести чисел, у которого:

а) среднее значение равно медиане;

б) среднее значение больше медианы.

Решение.

Для решения этой задачи нужно понимать, что такое среднее значение и медиана ряда чисел.

Среднее значение (или среднее арифметическое) — это сумма всех чисел ряда, деленная на их количество.

Медиана — это число, которое находится в середине упорядоченного по возрастанию ряда чисел. Если количество чисел нечетное, медиана — это число, стоящее ровно посередине. Если количество чисел четное, медиана — это среднее арифметическое двух чисел, стоящих посередине.

1) Построим ряд из пяти чисел.

а) среднее значение равно медиане

Для ряда из пяти чисел, упорядоченных по возрастанию ($x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$), медианой является третий элемент $x_3$. Чтобы среднее значение было равно медиане, ряд должен быть симметричным относительно своего центрального элемента. Самым простым примером такого ряда является любая арифметическая прогрессия.
Рассмотрим ряд: 1, 2, 3, 4, 5.
Медиана этого ряда — это третий элемент, то есть $3$.
Среднее значение равно: $\frac{1+2+3+4+5}{5} = \frac{15}{5} = 3$.
В данном случае среднее значение (3) равно медиане (3).
Ответ: 1, 2, 3, 4, 5.

б) среднее значение больше медианы

Чтобы среднее значение было больше медианы, необходимо, чтобы сумма чисел была «смещена» в сторону больших значений. Этого можно добиться, взяв симметричный ряд из предыдущего пункта и увеличив одно из чисел, стоящих правее медианы. Это увеличит сумму и среднее значение, но не изменит медиану.
Возьмем ряд 1, 2, 3, 4, 5 и заменим последнее число на 10. Получим ряд: 1, 2, 3, 4, 10.
Медиана этого ряда по-прежнему третий элемент, то есть $3$.
Среднее значение равно: $\frac{1+2+3+4+10}{5} = \frac{20}{5} = 4$.
В этом случае среднее значение (4) больше медианы (3).
Ответ: 1, 2, 3, 4, 10.

2) Построим ряд из шести чисел.

а) среднее значение равно медиане

Для ряда из шести чисел, упорядоченных по возрастанию ($x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$), медиана — это среднее арифметическое двух центральных элементов ($\frac{x_3+x_4}{2}$). Как и в предыдущем случае, для равенства среднего значения и медианы ряд должен быть симметричным.
Рассмотрим ряд, представляющий собой арифметическую прогрессию: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Медиана этого ряда: $\frac{3+4}{2} = 3.5$.
Среднее значение: $\frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$.
Среднее значение (3.5) равно медиане (3.5).
Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

б) среднее значение больше медианы

Аналогично предыдущему случаю, чтобы среднее значение стало больше медианы, увеличим одно из чисел, стоящих правее центральных элементов. Это увеличит среднее значение, но оставит медиану без изменений.
Возьмем ряд 1, 2, 3, 4, 5, 6 и заменим последнее число на 12. Получим ряд: 1, 2, 3, 4, 5, 12.
Медиана этого ряда не изменится, так как центральные элементы 3 и 4 остались прежними: $\frac{3+4}{2} = 3.5$.
Среднее значение: $\frac{1+2+3+4+5+12}{6} = \frac{27}{6} = 4.5$.
В этом случае среднее значение (4.5) больше медианы (3.5).
Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 12.