Номер 32.20, страница 305 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 32. Статистические характеристики - номер 32.20, страница 305.

Условие.

32.20. Упростите выражение $\left( \frac{1+\sqrt{2-a}}{2-a+\sqrt{2-a}} - \frac{1-\sqrt{2-a}}{2-a-\sqrt{2-a}} \right) \cdot \sqrt{\frac{2}{a}}-1$, если $0 < a < 2$.

Решение.

Для упрощения данного выражения выполним последовательные преобразования.

1. Упростим выражение в скобках. Для удобства введем замену $y = \sqrt{2-a}$. Из условия $0 < a < 2$ следует, что $0 < 2-a < 2$, а значит $0 < y < \sqrt{2}$. Также заметим, что $2-a = y^2$.

Подставим $y$ в выражение в скобках:

$ \frac{1+\sqrt{2-a}}{2-a+\sqrt{2-a}} - \frac{1-\sqrt{2-a}}{2-a-\sqrt{2-a}} = \frac{1+y}{y^2+y} - \frac{1-y}{y^2-y} $

Разложим знаменатели на множители:

$ \frac{1+y}{y(y+1)} - \frac{1-y}{y(y-1)} $

Так как $y > 0$, то $y+1 \neq 0$. Сократим первую дробь на $(y+1)$:$ \frac{1+y}{y(y+1)} = \frac{1}{y} $.

Во второй дроби вынесем минус из числителя: $1-y = -(y-1)$. Тогда дробь примет вид:$ \frac{-(y-1)}{y(y-1)} $. При условии $y-1 \neq 0$ (что эквивалентно $\sqrt{2-a} \neq 1$, то есть $2-a \neq 1$ или $a \neq 1$), мы можем сократить дробь на $(y-1)$:$ \frac{-(y-1)}{y(y-1)} = -\frac{1}{y} $.

Таким образом, выражение в скобках упрощается до:

$ \frac{1}{y} - \left(-\frac{1}{y}\right) = \frac{1}{y} + \frac{1}{y} = \frac{2}{y} $

Вернемся к переменной $a$:

$ \frac{2}{y} = \frac{2}{\sqrt{2-a}} $

2. Теперь упростим второй множитель $\sqrt{\frac{2}{a}-1}$. Приведем выражение под корнем к общему знаменателю:

$ \sqrt{\frac{2}{a}-1} = \sqrt{\frac{2-a}{a}} $

Поскольку по условию $a > 0$ и $2-a > 0$, мы можем записать корень из дроби как дробь корней:

$ \frac{\sqrt{2-a}}{\sqrt{a}} $

3. Перемножим полученные упрощенные выражения:

$ \left( \frac{2}{\sqrt{2-a}} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{2-a}}{\sqrt{a}} \right) $

Поскольку $a < 2$, то $\sqrt{2-a} \neq 0$, и мы можем сократить на этот множитель:

$ \frac{2}{\sqrt{a}} $

Исходное выражение не определено при $a=1$, однако в этой точке оно имеет устранимый разрыв. Упрощенное выражение $\frac{2}{\sqrt{a}}$ определено во всей области $0 < a < 2$ и совпадает с исходным выражением во всех точках, где то определено.

Ответ: $ \frac{2}{\sqrt{a}} $