Вопросы?, страница 311 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 33. Операции над событиями - страница 311.

Условие.

1. Какие события называют несовместными?

2. Какое событие называют объединением двух событий и как его обозначают?

3. Какое событие называют пересечением двух событий и как его обозначают?

4. Какое событие называют дополнением события и как его обозначают?

5. Чему равна вероятность объединения двух несовместных событий?

6. Как можно вычислить вероятность объединения двух событий?

7. Как можно вычислить вероятность дополнения события?

Решение.

1. Какие события называют несовместными?
Два события называют несовместными, если они не могут произойти одновременно в одном и том же испытании. Это означает, что появление одного из них исключает появление другого. Например, при однократном броске игральной кости события «выпало четное число» и «выпало 5 очков» являются несовместными. В терминах теории множеств это означает, что пересечение множеств исходов, благоприятствующих этим событиям, является пустым множеством ($A \cap B = \emptyset$).
Ответ: Несовместными называют события, которые не могут произойти одновременно в одном и том же испытании.

2. Какое событие называют объединением двух событий и как его обозначают?
Объединением (или суммой) двух событий $A$ и $B$ называют событие, которое заключается в наступлении хотя бы одного из этих событий. То есть, происходит событие $A$, или происходит событие $B$, или происходят оба события одновременно. Объединение событий $A$ и $B$ обозначают как $A \cup B$ или $A + B$.
Ответ: Объединением двух событий называют событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них; обозначают $A \cup B$.

3. Какое событие называют пересечением двух событий и как его обозначают?
Пересечением (или произведением) двух событий $A$ и $B$ называют событие, которое заключается в совместном наступлении этих событий. То есть, происходят и событие $A$, и событие $B$ одновременно. Пересечение событий $A$ и $B$ обозначают как $A \cap B$ или $A \cdot B$.
Ответ: Пересечением двух событий называют событие, состоящее в их одновременном появлении; обозначают $A \cap B$.

4. Какое событие называют дополнением события и как его обозначают?
Дополнением (или противоположным событием) для события $A$ называют событие, которое происходит тогда и только тогда, когда событие $A$ не происходит. Событие $A$ и его дополнение $\bar{A}$ образуют полную группу событий, то есть в результате испытания обязательно произойдет одно из них. Дополнение к событию $A$ обозначают как $\bar{A}$ или $A'${'.'}
Ответ: Дополнением события $A$ называют событие $\bar{A}$, которое происходит, если и только если не происходит событие $A$; обозначают $\bar{A}$.

5. Чему равна вероятность объединения двух несовместных событий?
Вероятность объединения двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Это одна из основных аксиом теории вероятностей. Если события $A$ и $B$ несовместны ($A \cap B = \emptyset$), то вероятность того, что произойдет хотя бы одно из них, вычисляется по формуле:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
Ответ: Вероятность объединения двух несовместных событий равна сумме их вероятностей: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

6. Как можно вычислить вероятность объединения двух событий?
Для вычисления вероятности объединения двух произвольных событий (которые могут быть совместными) используется общая теорема сложения вероятностей. Вероятность объединения двух событий равна сумме их вероятностей минус вероятность их пересечения. Это позволяет избежать двойного счета исходов, благоприятствующих обоим событиям.
Формула: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
Ответ: Вероятность объединения двух событий вычисляется по формуле $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

7. Как можно вычислить вероятность дополнения события?
Вероятность дополнения события $\bar{A}$ (противоположного события) можно вычислить, отняв от единицы вероятность самого события $A$. Это следует из того, что сумма вероятностей события и его дополнения всегда равна 1, так как одно из них обязательно произойдет в результате испытания ($P(A) + P(\bar{A}) = 1$).
Формула: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$
Ответ: Вероятность дополнения события можно вычислить по формуле $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.