Номер 33.7, страница 313 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 33. Операции над событиями - номер 33.7, страница 313.

Условие.

33.7. Опыт состоит в том, что из множества $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ наугад выбирают один элемент. В этом опыте рассматривают следующие события:

A — выбранный элемент принадлежит множеству $\{1, 3\}$;

B — выбранный элемент принадлежит множеству $\{1, 2, 5\}$;

C — выбранный элемент принадлежит множеству $\{4, 5\}$.

Какой элемент мог быть выбран, если произошло событие:

1) $A \cap B$;

2) $B \cup C$;

3) $\overline{B}$;

4) $\overline{A} \cap C$;

5) $A \cup B \cup C?$

Решение.

В данной задаче универсальное множество (из которого выбирают элемент) — это $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.

Рассматриваются следующие события:

• Событие A: выбранный элемент принадлежит множеству $A = \{1, 3\}$.
• Событие B: выбранный элемент принадлежит множеству $B = \{1, 2, 5\}$.
• Событие C: выбранный элемент принадлежит множеству $C = \{4, 5\}$.

Для каждого случая определим, какой элемент мог быть выбран.

1) $A \cap B$;

Событие $A \cap B$ (пересечение множеств A и B) означает, что произошло и событие A, и событие B. Следовательно, выбранный элемент должен принадлежать обоим множествам одновременно. Найдем элементы, которые являются общими для множеств A и B:

$A \cap B = \{1, 3\} \cap \{1, 2, 5\} = \{1\}$.

Таким образом, если произошло событие $A \cap B$, то был выбран элемент 1.

Ответ: 1.

2) $B \cup C$;

Событие $B \cup C$ (объединение множеств B и C) означает, что произошло хотя бы одно из событий: B или C. Это значит, что выбранный элемент принадлежит либо множеству B, либо множеству C, либо обоим сразу. Найдем объединение множеств B и C:

$B \cup C = \{1, 2, 5\} \cup \{4, 5\} = \{1, 2, 4, 5\}$.

Следовательно, мог быть выбран любой из элементов 1, 2, 4 или 5.

Ответ: 1, 2, 4 или 5.

3) $\bar{B}$;

Событие $\bar{B}$ (дополнение множества B) означает, что событие B не произошло. То есть, был выбран элемент, который не принадлежит множеству B. Дополнение находится относительно универсального множества U. Найдем все элементы из U, которые не входят в B:

$\bar{B} = U \setminus B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \setminus \{1, 2, 5\} = \{3, 4\}$.

Следовательно, мог быть выбран элемент 3 или 4.

Ответ: 3 или 4.

4) $\bar{A} \cap C$;

Событие $\bar{A} \cap C$ означает, что событие A не произошло, но при этом произошло событие C. То есть, выбранный элемент не принадлежит множеству A и одновременно принадлежит множеству C. Сначала найдем дополнение множества A:

$\bar{A} = U \setminus A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \setminus \{1, 3\} = \{2, 4, 5\}$.

Теперь найдем пересечение полученного множества $\bar{A}$ с множеством C:

$\bar{A} \cap C = \{2, 4, 5\} \cap \{4, 5\} = \{4, 5\}$.

Следовательно, мог быть выбран элемент 4 или 5.

Ответ: 4 или 5.

5) $A \cup B \cup C$;

Событие $A \cup B \cup C$ (объединение множеств A, B и C) означает, что произошло хотя бы одно из этих трех событий. Выбранный элемент должен принадлежать хотя бы одному из множеств A, B или C. Найдем объединение всех трех множеств:

$A \cup B \cup C = \{1, 3\} \cup \{1, 2, 5\} \cup \{4, 5\} = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.

Результатом является все универсальное множество U. Это означает, что мог быть выбран любой из элементов 1, 2, 3, 4 или 5.

Ответ: 1, 2, 3, 4 или 5.