Номер 33.11, страница 314 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 33. Операции над событиями - номер 33.11, страница 314.

Условие.

33.11. Используя условие предыдущей задачи, найдите вероятность события:

Рис. 33.11

1) $B$;

2) $\overline{A}$;

3) $A \cap B$;

4) $\overline{A} \cup \overline{B}$.

Решение.

Для решения задачи воспользуемся данными из условия предыдущей задачи, которые, как правило, в подобных заданиях представлены на диаграмме Венна (рис. 33.11). Диаграмма показывает распределение элементарных исходов между событиями A и B.

Из стандартной диаграммы Венна для этой задачи мы имеем следующие данные о количестве элементарных исходов:
- Количество исходов, благоприятствующих только событию A (область $A \setminus B$): $|A \cap \overline{B}| = 3$.
- Количество исходов, благоприятствующих только событию B (область $B \setminus A$): $|\overline{A} \cap B| = 2$.
- Количество исходов, благоприятствующих обоим событиям одновременно (их пересечению): $|A \cap B| = 1$.
- Количество исходов, которые не благоприятствуют ни A, ни B: $|\overline{A} \cap \overline{B}| = 4$.

Общее число элементарных исходов в пространстве Ω равно сумме исходов во всех непересекающихся областях:
$|Ω| = |A \cap \overline{B}| + |\overline{A} \cap B| + |A \cap B| + |\overline{A} \cap \overline{B}| = 3 + 2 + 1 + 4 = 10$.

Вероятность любого события E вычисляется по формуле классической вероятности: $P(E) = \frac{|E|}{|Ω|}$, где $|E|$ — число благоприятствующих событию E исходов.

1) B;

Событие B состоит из исходов, принадлежащих только B, и исходов, принадлежащих пересечению A и B.
Число исходов, благоприятствующих событию B, равно: $|B| = |\overline{A} \cap B| + |A \cap B| = 2 + 1 = 3$.
Следовательно, вероятность события B: $P(B) = \frac{|B|}{|Ω|} = \frac{3}{10}$.
Ответ: $\frac{3}{10}$.

2) Ā;

Событие $\overline{A}$ (дополнение к A) состоит из всех исходов, которые не входят в событие A. Это исходы, принадлежащие только B, и исходы, не принадлежащие ни A, ни B.
Число исходов, благоприятствующих событию $\overline{A}$, равно: $|\overline{A}| = |\overline{A} \cap B| + |\overline{A} \cap \overline{B}| = 2 + 4 = 6$.
Вероятность события $\overline{A}$: $P(\overline{A}) = \frac{|\overline{A}|}{|Ω|} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$.

3) A ∩ B;

Событие $A \cap B$ (пересечение A и B) состоит из исходов, принадлежащих одновременно и A, и B.
Из диаграммы находим число таких исходов: $|A \cap B| = 1$.
Вероятность события $A \cap B$: $P(A \cap B) = \frac{|A \cap B|}{|Ω|} = \frac{1}{10}$.
Ответ: $\frac{1}{10}$.

4) Ā ∪ B̄.

Событие $\overline{A} \cup \overline{B}$ (объединение дополнений к A и B) состоит из исходов, которые не принадлежат A или не принадлежат B. Это все исходы, за исключением тех, которые принадлежат обоим событиям A и B одновременно.
Таким образом, благоприятствующие исходы — это те, что находятся в области $A \setminus B$, в области $B \setminus A$ и вне обоих событий.
Число благоприятствующих исходов: $|\overline{A} \cup \overline{B}| = |A \cap \overline{B}| + |\overline{A} \cap B| + |\overline{A} \cap \overline{B}| = 3 + 2 + 4 = 9$.
Вероятность события: $P(\overline{A} \cup \overline{B}) = \frac{9}{10}$.
Также можно воспользоваться законами де Моргана: $\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$. Тогда вероятность этого события равна $P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(A \cap B) = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$.
Ответ: $\frac{9}{10}$.