Номер 33.10, страница 314 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 33. Операции над событиями - номер 33.10, страница 314.

Условие.

33.10. Событие $A$ состоит в том, что наугад выбранный посетитель бассейна умеет плавать брассом, событие $B$ — в том, что он умеет плавать на спине. На диаграмме (рис. 33.11) указано количество людей в одной или другой группе. Найдите вероятность события:

1) $A$;

2) $\overline{B}$;

3) $A \cup B$;

4) $\overline{A} \cap \overline{B}$.

Рис. 33.11

Решение.

Для решения задачи сначала проанализируем диаграмму Венна и определим общее количество посетителей бассейна.

• Количество посетителей, которые умеют плавать только брассом (область, принадлежащая только кругу A): 7.
• Количество посетителей, которые умеют плавать и брассом, и на спине (пересечение кругов A и B): 2.
• Количество посетителей, которые умеют плавать только на спине (область, принадлежащая только кругу B): 20.
• Количество посетителей, которые не умеют плавать ни одним из этих стилей (область вне кругов): 30.

Общее количество посетителей в бассейне (N) равно сумме людей во всех областях на диаграмме:

$N = 7 + 2 + 20 + 30 = 59$

Вероятность любого события P вычисляется по формуле классической вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число всех равновозможных исходов.

1) A;

Событие A — «наугад выбранный посетитель умеет плавать брассом». Число посетителей, умеющих плавать брассом, равно сумме тех, кто плавает только брассом, и тех, кто плавает обоими стилями.

Число благоприятных исходов: $m(A) = 7 + 2 = 9$.

Вероятность события A:

$P(A) = \frac{m(A)}{N} = \frac{9}{59}$

Ответ: $\frac{9}{59}$

2) $\bar{B}$;

Событие $\bar{B}$ — «наугад выбранный посетитель не умеет плавать на спине». Это противоположное событию B («умеет плавать на спине»). Число таких посетителей равно сумме тех, кто плавает только брассом, и тех, кто не владеет ни одним из этих стилей.

Число благоприятных исходов: $m(\bar{B}) = 7 + 30 = 37$.

Вероятность события $\bar{B}$:

$P(\bar{B}) = \frac{m(\bar{B})}{N} = \frac{37}{59}$

Ответ: $\frac{37}{59}$

3) A ∪ B;

Событие $A \cup B$ — «наугад выбранный посетитель умеет плавать брассом или на спине». Это означает, что он умеет плавать хотя бы одним из этих стилей. Число таких посетителей равно сумме тех, кто плавает только брассом, только на спине, и обоими стилями.

Число благоприятных исходов: $m(A \cup B) = 7 + 2 + 20 = 29$.

Вероятность события $A \cup B$:

$P(A \cup B) = \frac{m(A \cup B)}{N} = \frac{29}{59}$

Ответ: $\frac{29}{59}$

4) $\bar{A} \cap \bar{B}$;

Событие $\bar{A} \cap \bar{B}$ — «наугад выбранный посетитель не умеет плавать брассом и не умеет плавать на спине». Это означает, что он не владеет ни одним из этих двух стилей. По диаграмме, это число людей, находящихся вне обоих кругов.

Число благоприятных исходов: $m(\bar{A} \cap \bar{B}) = 30$.

Вероятность события $\bar{A} \cap \bar{B}$:

$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = \frac{m(\bar{A} \cap \bar{B})}{N} = \frac{30}{59}$

Ответ: $\frac{30}{59}$