Номер 33.9, страница 314 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 33. Операции над событиями - номер 33.9, страница 314.

Условие.

33.9. Перед футбольным матчем «Локомотив» — «Зенит» болельщики обсуждают такие события:

А — «Зенит» не проиграет»;

В — «матч закончится вничью со счётом 1:1»;

С — «„Локомотив“» победит со счётом 2:0»;

D — «в матче забьют не более трёх голов».

Какой счёт может быть на табло после окончания матча, если произойдёт событие:

1) $A \cap B$;

2) $B \cup C$;

3) $A \cap D$;

4) $\overline{A \cup C}$;

5) $\overline{C} \cup \overline{D}$?

Решение.

Для решения задачи введём обозначения. Пусть счёт матча «Локомотив» — «Зенит» будет $L:Z$, где $L$ — голы «Локомотива», а $Z$ — голы «Зенита».

Определим события в терминах счёта:

• Событие $A$ («Зенит» не проиграет): $Z \ge L$.
• Событие $B$ (матч закончится вничью со счётом 1:1): счёт $1:1$.
• Событие $C$ («Локомотив» победит со счётом 2:0): счёт $2:0$.
• Событие $D$ (в матче забьют не более трёх голов): $L + Z \le 3$.

Рассмотрим каждое из событий, предложенных в задаче.

1) $A \cap B$

Событие $A \cap B$ означает, что события $A$ и $B$ должны произойти одновременно. Событие $B$ определяет конкретный счёт — $1:1$. Нам нужно проверить, удовлетворяет ли этот счёт условию события $A$. Условие $A$ — $Z \ge L$. Для счёта $1:1$ это условие выполняется, так как $1 \ge 1$. Следовательно, единственный возможный счёт — $1:1$.
Ответ: $1:1$.

2) $B \cup C$

Событие $B \cup C$ означает, что должно произойти либо событие $B$, либо событие $C$. Событие $B$ — это счёт $1:1$, а событие $C$ — это счёт $2:0$. Значит, матч может закончиться с одним из этих двух счетов.
Ответ: $1:1$ или $2:0$.

3) $A \cap D$

Событие $A \cap D$ означает, что должны одновременно выполняться условия $A$ ($Z \ge L$) и $D$ ($L + Z \le 3$). Найдём все возможные счета (пары целых неотрицательных чисел $L$ и $Z$), удовлетворяющие этим двум неравенствам:

• Если $L=0$, то $Z \ge 0$ и $Z \le 3$. Возможные счета: $0:0, 0:1, 0:2, 0:3$.
• Если $L=1$, то $Z \ge 1$ и $1+Z \le 3 \implies Z \le 2$. Возможные счета: $1:1, 1:2$.
• Если $L=2$, то $Z \ge 2$ и $2+Z \le 3 \implies Z \le 1$. Таких целых $Z$ не существует.

Таким образом, возможен любой из перечисленных счетов.
Ответ: $0:0, 0:1, 0:2, 0:3, 1:1, 1:2$.

4) $\overline{A \cup C}$

Событие $\overline{A \cup C}$ является дополнением к событию $A \cup C$. Это означает, что событие $A \cup C$ не произошло. По законам де Моргана, $\overline{A \cup C} = \bar{A} \cap \bar{C}$.
$\bar{A}$ — событие, противоположное $A$. Если $A$ — «Зенит» не проиграет ($Z \ge L$), то $\bar{A}$ — «Зенит» проиграет, то есть «Локомотив» победит ($L > Z$).
$\bar{C}$ — событие, противоположное $C$. Если $C$ — счёт $2:0$, то $\bar{C}$ — любой счёт, кроме $2:0$.
Событие $\bar{A} \cap \bar{C}$ означает, что «Локомотив» победил ($L>Z$) и при этом счёт не $2:0$.
Ответ: любой счёт, при котором победил «Локомотив», кроме счёта $2:0$ (например, $1:0, 2:1, 3:0$).

5) $\bar{C} \cup \bar{D}$

Событие $\bar{C} \cup \bar{D}$ означает, что произошло хотя бы одно из двух событий: $\bar{C}$ (счёт не $2:0$) или $\bar{D}$ (забито более трёх голов, $L+Z > 3$).
Это событие произойдёт при любом счёте, кроме того, при котором не выполняются ни $\bar{C}$, ни $\bar{D}$. Это соответствует одновременному выполнению событий $C$ и $D$.
Событие $C \cap D$ означает, что счёт $2:0$ и при этом забито не более трёх голов ($L+Z \le 3$).
Счёт $2:0$ удовлетворяет обоим условиям, так как $2+0 = 2 \le 3$.
Следовательно, событие $\bar{C} \cup \bar{D}$ соответствует любому возможному счёту, кроме $2:0$.
Ответ: любой счёт, кроме $2:0$ (например, $1:1, 0:3, 4:2$).