Номер 33.8, страница 314 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 33. Операции над событиями - номер 33.8, страница 314.

Условие.

33.8. Опыт состоит в том, что наугад выбирают действительное число.

В этом опыте рассматривают следующие события:

A — выбранное число принадлежит промежутку $[0; 4]$,

B — выбранное число принадлежит промежутку $(0; +\infty)$,

C — выбранное число принадлежит промежутку $[2; 7)$.

Запишите с помощью числовых промежутков множество, которому принадлежит выбранное число, если произошло событие:

1) $A \cup B$;

2) $A \cap C$;

3) $\overline{B}$;

4) $A \cap \overline{C}$;

5) $A \cap B \cap C$.

Решение.

В задаче даны три события, представляющие собой принадлежность случайно выбранного действительного числа $x$ определенным числовым промежуткам:
Событие A: $x \in [0; 4]$
Событие B: $x \in (0; +\infty)$
Событие C: $x \in [2; 7]$
Необходимо найти числовые промежутки для комбинаций этих событий.

1) A ∪ B

Событие $A \cup B$ (объединение) означает, что произошло хотя бы одно из событий A или B. Это соответствует объединению числовых промежутков $A = [0; 4]$ и $B = (0; +\infty)$.
Объединение множеств включает все элементы, принадлежащие хотя бы одному из них. Промежуток A начинается с 0 (включительно), а промежуток B включает все числа, строго большие 0, и уходит в бесконечность. Таким образом, их объединение — это все числа от 0 включительно до плюс бесконечности.
$[0; 4] \cup (0; +\infty) = [0; +\infty)$
Ответ: $[0; +\infty)$

2) A ∩ C

Событие $A \cap C$ (пересечение) означает, что произошли оба события A и C одновременно. Это соответствует нахождению общей части числовых промежутков $A = [0; 4]$ и $C = [2; 7]$.
Пересечение — это множество всех чисел, которые принадлежат и первому, и второму промежутку. Общая часть для $[0; 4]$ и $[2; 7]$ — это все числа, которые больше или равны 2 и меньше или равны 4.
$[0; 4] \cap [2; 7] = [2; 4]$
Ответ: $[2; 4]$

3) B̄

Событие $\bar{B}$ (дополнение) означает, что событие B не произошло. Это соответствует множеству всех действительных чисел, которые не входят в промежуток $B = (0; +\infty)$.
Промежуток B включает все положительные числа. Дополнением к нему будет множество всех чисел, которые не являются положительными, то есть ноль и все отрицательные числа.
$\bar{B} = (-\infty; 0]$
Ответ: $(-\infty; 0]$

4) A ∩ C̄

Событие $A \cap \bar{C}$ означает, что событие A произошло, а событие C не произошло. Это соответствует пересечению множества A и дополнения множества C.
Сначала найдем дополнение $\bar{C}$ для $C = [2; 7]$. Дополнение содержит все числа, не входящие в данный отрезок.
$\bar{C} = (-\infty; 2) \cup (7; +\infty)$
Теперь найдем пересечение $A = [0; 4]$ с множеством $\bar{C}$.
$A \cap \bar{C} = [0; 4] \cap ((-\infty; 2) \cup (7; +\infty))$
Нам нужно найти числа из отрезка $[0; 4]$, которые либо меньше 2, либо больше 7. Часть $(7; +\infty)$ не имеет общих точек с $[0; 4]$. Пересечение будет только с частью $(-\infty; 2)$.
$[0; 4] \cap (-\infty; 2) = [0; 2)$
Ответ: $[0; 2)$

5) A ∩ B ∩ C

Событие $A \cap B \cap C$ означает, что произошли все три события одновременно. Это соответствует пересечению трех промежутков: $A = [0; 4]$, $B = (0; +\infty)$ и $C = [2; 7]$.
Нужно найти числа, которые удовлетворяют всем трем условиям:
1. $x \in [0; 4]$
2. $x \in (0; +\infty)$
3. $x \in [2; 7]$
Пересечение первых двух множеств $A \cap B = [0; 4] \cap (0; +\infty) = (0; 4]$.
Теперь пересечем полученный результат с множеством C: $(0; 4] \cap [2; 7]$.
Общей частью этих двух промежутков являются числа от 2 включительно до 4 включительно.
$A \cap B \cap C = [2; 4]$
Ответ: $[2; 4]$