Номер 33.3, страница 312 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 33. Операции над событиями - номер 33.3, страница 312.

Условие.

33.3. Шоколадка «Супер-Сюрприз» содержит внутри игрушку или для мальчика (машинку или фигурку пирата), или для девочки (куклу или браслет). Событие $A$ состоит в том, что выбранный наугад «Супер-Сюрприз» содержит игрушку для мальчика; а событие $B$ — в том, что «Супер-Сюрприз» содержит браслет. Найдите среди событий $X, Y, Z, T$ событие:

1) $\overline{A}$;

2) $A \cup B$;

3) $A \cap \overline{B}$, где:

$X$ — ««Супер-Сюрприз»» содержит куклу»,

$Y$ — ««Супер-Сюрприз»» содержит игрушку для девочки»,

$Z$ — ««Супер-Сюрприз»» содержит машинку или фигурку пирата»;

$T$ — ««Супер-Сюрприз»» не содержит куклу».

Решение.

Для решения задачи сначала определим множества элементарных исходов для каждого события. Всего возможны 4 вида игрушек: машинка (М), фигурка пирата (П), кукла (К), браслет (Б).

Событие $A$ — «выбранный „Супер-Сюрприз“ содержит игрушку для мальчика». Это значит, что внутри либо машинка, либо фигурка пирата. $A = \{М, П\}$.

Событие $B$ — «„Супер-Сюрприз“ содержит браслет». $B = \{Б\}$.

Определим события X, Y, Z, T:

• $X$ — «„Супер-Сюрприз“ содержит куклу». $X = \{К\}$.
• $Y$ — «„Супер-Сюрприз“ содержит игрушку для девочки». Это значит, что внутри либо кукла, либо браслет. $Y = \{К, Б\}$.
• $Z$ — «„Супер-Сюрприз“ содержит машинку или фигурку пирата». $Z = \{М, П\}$.
• $T$ — «„Супер-Сюрприз“ не содержит куклу». Это значит, что внутри может быть машинка, фигурка пирата или браслет. $T = \{М, П, Б\}$.

Теперь найдём соответствия для каждого из трёх выражений.

1) $\bar{A}$

Событие $\bar{A}$ является противоположным событию $A$. Если событие $A$ заключается в том, что игрушка для мальчика, то событие $\bar{A}$ заключается в том, что игрушка не для мальчика. По условию, если игрушка не для мальчика, то она для девочки (кукла или браслет).

Таким образом, событие $\bar{A}$ означает, что «„Супер-Сюрприз“ содержит игрушку для девочки». Это в точности совпадает с описанием события $Y$.

Множество исходов для $\bar{A}$ — это все возможные игрушки, кроме тех, что входят в $A$: $\bar{A} = \{К, Б\}$. Это множество совпадает с множеством для события $Y$.

Ответ: $Y$.

2) $A \cup B$

Объединение событий $A \cup B$ означает, что выполняется хотя бы одно из событий: $A$ или $B$. То есть, в «Супер-Сюрпризе» находится либо игрушка для мальчика (событие $A$), либо браслет (событие $B$).

Игрушки для мальчика — это машинка и фигурка пирата. Значит, событие $A \cup B$ произойдет, если внутри окажется машинка, фигурка пирата или браслет. Единственная игрушка, которая не удовлетворяет этому условию, — это кукла.

Таким образом, событие $A \cup B$ можно описать как «„Супер-Сюрприз“ не содержит куклу». Это в точности совпадает с описанием события $T$.

Множество исходов для $A \cup B$ — это объединение множеств $A=\{М, П\}$ и $B=\{Б\}$, то есть $\{М, П, Б\}$. Это множество совпадает с множеством для события $T$.

Ответ: $T$.

3) $A \cap \bar{B}$

Пересечение событий $A \cap \bar{B}$ означает, что оба события происходят одновременно: событие $A$ (игрушка для мальчика) и событие $\bar{B}$ (игрушка — это не браслет).

Событие $A$ означает, что игрушка — это машинка или фигурка пирата. Ни одна из этих игрушек не является браслетом, поэтому условие $\bar{B}$ (не браслет) для них всегда выполняется. Следовательно, событие $A \cap \bar{B}$ эквивалентно событию $A$.

Таким образом, событие $A \cap \bar{B}$ означает, что «„Супер-Сюрприз“ содержит машинку или фигурку пирата». Это в точности совпадает с описанием события $Z$.

Множество исходов для $\bar{B}$ — это $\{М, П, К\}$. Пересечение множества $A = \{М, П\}$ и множества $\bar{B} = \{М, П, К\}$ даёт множество $\{М, П\}$. Это множество совпадает с множеством для события $Z$.

Ответ: $Z$.