Номер 32.18, страница 305 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 32. Статистические характеристики - номер 32.18, страница 305.

Условие.

32.18. Даны два набора чисел: 6, 7, 8, 9 и 1, 5, 10, 14. Отметьте каждый из этих наборов на координатной прямой. Найдите дисперсии этих наборов и сравните полученные результаты.

Решение.

Даны два набора чисел:
Первый набор: {6, 7, 8, 9}.
Второй набор: {1, 5, 10, 14}.

Отметьте каждый из этих наборов на координатной прямой

Если отметить числа из каждого набора на координатной прямой, можно заметить, что точки первого набора (6, 7, 8, 9) расположены очень близко друг к другу, образуя плотную группу. Точки второго набора (1, 5, 10, 14) расположены на значительном расстоянии друг от друга, то есть они более разбросаны.

Найдите дисперсии этих наборов

Дисперсия ($D$) является мерой разброса данных и вычисляется как среднее арифметическое квадратов отклонений значений от их среднего значения $\bar{x}$.
Формула дисперсии: $D = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$.

Расчет для первого набора {6, 7, 8, 9}:
1. Найдем среднее арифметическое $\bar{x}_1$:
$\bar{x}_1 = \frac{6 + 7 + 8 + 9}{4} = \frac{30}{4} = 7.5$
2. Вычислим дисперсию $D_1$:
$D_1 = \frac{(6 - 7.5)^2 + (7 - 7.5)^2 + (8 - 7.5)^2 + (9 - 7.5)^2}{4}$
$D_1 = \frac{(-1.5)^2 + (-0.5)^2 + (0.5)^2 + (1.5)^2}{4} = \frac{2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25}{4} = \frac{5}{4} = 1.25$

Расчет для второго набора {1, 5, 10, 14}:
1. Найдем среднее арифметическое $\bar{x}_2$:
$\bar{x}_2 = \frac{1 + 5 + 10 + 14}{4} = \frac{30}{4} = 7.5$
2. Вычислим дисперсию $D_2$:
$D_2 = \frac{(1 - 7.5)^2 + (5 - 7.5)^2 + (10 - 7.5)^2 + (14 - 7.5)^2}{4}$
$D_2 = \frac{(-6.5)^2 + (-2.5)^2 + (2.5)^2 + (6.5)^2}{4} = \frac{42.25 + 6.25 + 6.25 + 42.25}{4} = \frac{97}{4} = 24.25$
Ответ: Дисперсия первого набора равна 1.25, дисперсия второго набора равна 24.25.

Сравните полученные результаты

Сравниваем вычисленные дисперсии: $D_1 = 1.25$ и $D_2 = 24.25$.
Очевидно, что $24.25 > 1.25$, следовательно, $D_2 > D_1$.
Дисперсия второго набора чисел значительно больше дисперсии первого. Это означает, что значения во втором наборе гораздо сильнее разбросаны относительно своего среднего значения (которое для обоих наборов одинаково и равно 7.5), чем значения в первом наборе. Этот числовой результат подтверждает визуальное наблюдение за расположением точек на координатной прямой.
Ответ: Дисперсия второго набора (24.25) больше дисперсии первого набора (1.25).