Номер 406, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

406 Мяч, подброшенный от земли вертикально вверх с начальной скоростью $v_0 = 17 \text{ м/с}$, через несколько секунд оказался на высоте $h = 6 \text{ м}$. Через сколько секунд мяч оказался на указанной высоте, если $h = v_0t - \frac{gt^2}{2}$, где $g = 10 \text{ м/с}^2$ — ускорение свободного падения тела, $t$ — время (с)?

Для определения времени, через которое мяч окажется на заданной высоте, воспользуемся формулой, приведенной в условии задачи:

$h = v_0t - \frac{gt^2}{2}$

В эту формулу необходимо подставить известные нам значения:

• начальная скорость $v_0 = 17$ м/с;
• высота $h = 6$ м;
• ускорение свободного падения $g = 10$ м/с².

Подставив значения, получим уравнение относительно времени $t$:

$6 = 17t - \frac{10t^2}{2}$

Упростим правую часть уравнения:

$6 = 17t - 5t^2$

Для решения перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $at^2 + bt + c = 0$:

$5t^2 - 17t + 6 = 0$

Теперь решим это уравнение. Сначала найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 289 - 120 = 169$

Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-(-17) + \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{17 + 13}{10} = \frac{30}{10} = 3$

$t_2 = \frac{-(-17) - \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{17 - 13}{10} = \frac{4}{10} = 0.4$

Мы получили два положительных значения времени. Это физически объяснимо: мяч достигает высоты 6 метров дважды. Первый раз — при движении вверх (через 0.4 с), а второй раз — при движении вниз после достижения максимальной высоты (через 3 с).

Ответ: мяч оказался на указанной высоте через 0.4 секунды и через 3 секунды.